Kezdőlap


Feladat:	F.1898	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Kocka, Hossz, kerület, Szerkesztések a térben, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: F.1898

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A félgömböt határoló körlapon levő négy kockacsúcs egy lapot alkot ‐ mert máshogyan választva a kocka egy síkban fekvő $4$ csúcsát, a többi $4$ csúcs megoszlana e sík két oldalára, nem jutna $4$ a félgömb felületre ‐, legyen ez a lap a kocka alaplapja. Így a gömbfelületen levő $4$ csúcs alkotja a vele párhuzamos fedőlapot. A fedőlapnégyzet bele van írva abba a $k$ körbe, amelyet a gömbből a síkja kimetsz, e kör és a fedőlapok $K$ középpontja egybeesik. $K$ -n át az oldalélekkel párhuzamost húzva a kocka egy laptengelyét kapjuk, másrészt e körüli forgatással $k$ önmagán tolódik el, tehát a félgömb is, ezért a kocka alaplapjának középpontja egybeesik a félgömb $O$ középpontjával.

1. ábra

Ezek alapján számító feladatunknak ezt tekintjük: fejezzük ki

k

és az alapnégyzet, köré írható kör

r

sugarát ‐ az alapnégyzet átlójának felét ‐ a félgömb adott

R

sugarával.
Legyen az alap egy csúcsa

A

, a belőle induló oldalél végpontja a félgömb felületén

A'

, ekkor a kocka éle

A A' = a

, a mondott sugár

r = O A = a \sqrt[]{2} / 2

, és az

O A' A

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} a^{2} + \frac{a^{2}}{2} = R^{2}, a = R \sqrt[]{\frac{2}{3}}, r = R \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Könnyű belátni, hogy egy

R

oldalú szabályos háromszög köré írható kör sugara éppen

r

. Ennek az észrevételnek az alapján, a segédszerkesztés után egy mód a szerkesztés elvégzésére: A félgömb határoló körlapján

O

körül megrajzoljuk az

r

sugarú kört, abban fölveszünk egy négyzetet, csúcsaiban merőleges egyeneseket állítunk a határlapra, ezek kimetszik a kocka további

4

csúcsát a félgömb felületéből.

2. ábra

Megjegyzések. 1. A szerkesztést elvégezhetjük a bevezető leírás alapján hasonlósági transzformációval is. Tetszőleges, kockát úgy állítunk a félgömb határlapjára (akár befelé, akár kifelé), hogy ennek középpontja essék egybe

O

-val. Ekkor a szemben fekvő lap csúcsain és

O

-n átmenő

4

egyenes a félgömbből kimetszi a keresett kocka

4

csúcsát, és ezeknek a határlapon levő vetülete a további

4

csúcs.
2. Tükrözve a félgömböt és a kockát a határoló lap síkjára, teljes gömböt és egy beleírt

1 : 1 : 2

élarányú téglatestet (négyzetes oszlopot) kapunk. Ebből kiindulva is megoldhatjuk a feladatot.