A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A félgömböt határoló körlapon levő négy kockacsúcs egy lapot alkot ‐ mert máshogyan választva a kocka egy síkban fekvő csúcsát, a többi csúcs megoszlana e sík két oldalára, nem jutna a félgömb felületre ‐, legyen ez a lap a kocka alaplapja. Így a gömbfelületen levő csúcs alkotja a vele párhuzamos fedőlapot. A fedőlapnégyzet bele van írva abba a körbe, amelyet a gömbből a síkja kimetsz, e kör és a fedőlapok középpontja egybeesik. -n át az oldalélekkel párhuzamost húzva a kocka egy laptengelyét kapjuk, másrészt e körüli forgatással önmagán tolódik el, tehát a félgömb is, ezért a kocka alaplapjának középpontja egybeesik a félgömb középpontjával.
1. ábra Ezek alapján számító feladatunknak ezt tekintjük: fejezzük ki és az alapnégyzet, köré írható kör sugarát ‐ az alapnégyzet átlójának felét ‐ a félgömb adott sugarával. Legyen az alap egy csúcsa , a belőle induló oldalél végpontja a félgömb felületén , ekkor a kocka éle , a mondott sugár , és az derékszögű háromszögből Könnyű belátni, hogy egy oldalú szabályos háromszög köré írható kör sugara éppen . Ennek az észrevételnek az alapján, a segédszerkesztés után egy mód a szerkesztés elvégzésére: A félgömb határoló körlapján körül megrajzoljuk az sugarú kört, abban fölveszünk egy négyzetet, csúcsaiban merőleges egyeneseket állítunk a határlapra, ezek kimetszik a kocka további csúcsát a félgömb felületéből.
2. ábra
Megjegyzések. 1. A szerkesztést elvégezhetjük a bevezető leírás alapján hasonlósági transzformációval is. Tetszőleges, kockát úgy állítunk a félgömb határlapjára (akár befelé, akár kifelé), hogy ennek középpontja essék egybe -val. Ekkor a szemben fekvő lap csúcsain és -n átmenő egyenes a félgömbből kimetszi a keresett kocka csúcsát, és ezeknek a határlapon levő vetülete a további csúcs. 2. Tükrözve a félgömböt és a kockát a határoló lap síkjára, teljes gömböt és egy beleírt élarányú téglatestet (négyzetes oszlopot) kapunk. Ebből kiindulva is megoldhatjuk a feladatot. |