Kezdőlap


Feladat:	F.1897	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/március, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: F.1897

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} A_{1} B_{4} \cdot A_{2} B_{5} \cdot A_{3} B_{1} \cdot A_{4} B_{2} \cdot 4_{5} B_{3} = A_{1} B_{3} \cdot A_{2} B_{4} \cdot A_{3} B_{5} \cdot A_{4} B_{1} \cdot A_{5} B_{2}, & (1) \\ A_{1} B_{5} \cdot A_{2} B_{1} \cdot A_{3} B_{2} \cdot A_{4} B_{3} \cdot A_{5} B_{4} = A_{1} B_{2} \cdot A_{2} B_{3} \cdot A_{3} B_{4} \cdot A_{4} B_{5} \cdot A_{5} B_{1} . & (2) \end{matrix}

Jelöljük

A_{i}

-nek a vele szomszédos csúcsokat összekötő

A_{i - 1} A_{i + 1}

átlón levő vetületét

C_{i}

-vel (

i = 1

2

3

4

5

, ha egy index nagyobbnak adódik, mint

5

, helyette az

5

-tel kisebb szám veendő s i. t.), és szorozzuk meg az (1) bal és jobb oldalán álló szorzatokat ‐ külön-külön ‐ az

A_{1} C_{1} \cdot A_{2} C_{2} \cdot A_{3} C_{3} \cdot A_{4} C_{4} \cdot A_{5} C_{5}

szorzattal. Alkalmas csoportosítás után a kéttényezős szorzatokban bizonyos háromszögek területének

2

-szeresét ismerjük fel: e területeket a

3

csúcs felsorolásával jelölve:

\begin{matrix} (A_{1} B_{4} \cdot A_{2} C_{2}) \cdot (A_{2} B_{5} \cdot A_{3} C_{3}) \cdot (A_{3} B_{1} \cdot A_{4} C_{4}) \cdot (A_{4} B_{2} \cdot A_{5} C_{5}) \cdot (A_{5} B_{3} \cdot A_{1} C_{1}) = \\ (2 A_{1} A_{2} B_{4}) \cdot (2 \cdot A_{2} A_{3} B_{5}) \cdot (2 \cdot A_{3} A_{4} B_{1}) \cdot (2 \cdot A_{4} A_{5} B_{2}) \cdot (2 \cdot A_{5} A_{1} B_{3}), \end{matrix}

és hasonló alakítással ugyanezeket a tényezőket kapjuk a jobb oldalból:

\begin{matrix} (A_{1} B_{3} \cdot A_{5} C_{5}) \cdot (A_{2} B_{4} \cdot A_{1} C_{1}) \cdot (A_{3} B_{5} \cdot A_{2} C_{2}) \cdot (A_{4} B_{1} \cdot A_{3} C_{3}) \cdot (A_{5} B_{2} \cdot A_{4} C_{4}) = \\ (2 \cdot A_{1} B_{3} A_{5}) \cdot (2 \cdot A_{2} B_{4} A_{1}) \cdot (2 \cdot A_{3} B_{5} A_{2}) \cdot (2 \cdot A_{4} B_{1} A_{3}) \cdot (2 \cdot A_{5} B_{2} A_{4}) . \end{matrix}

És mivel valódi ötszögben szorzónk öt tényezőjének egyike sem

0

, a szorzatok egyenlőségéből következik, hogy az eredeti szorzatok is egyenlők.
Legyen továbbá

B_{i}

vetülete az

A_{i - 1} A_{i + 1}

átlóra

D_{i}

és szorozzuk (2) két oldalát külön-külön az öt

B_{i} D_{i}

szakasz szorzatával. Ekkor az előbbiekhez hasonlóan

\begin{matrix} (A_{1} B_{5} \cdot B_{2} D_{2}) \cdot (A_{2} B_{1} \cdot B_{3} D_{3}) \cdot (A_{3} B_{2} \cdot B_{4} D_{4}) \cdot (A_{4} B_{3} \cdot B_{5} D_{5}) \cdot (A_{5} B_{4} \cdot B_{1} D_{1}) = \\ (2 \cdot A_{1} B_{5} B_{2}) \cdot (2 \cdot A_{2} B_{1} B_{3}) \cdot (2 \cdot A_{3} B_{2} B_{4}) \cdot (2 \cdot A_{4} B_{3} B_{5}) \cdot (2 \cdot A_{5} B_{4} B_{1}) és \\ (A_{1} B_{2} \cdot B_{5} D_{5}) \cdot (A_{2} B_{3} \cdot B_{1} D_{1}) \cdot (A_{3} B_{4} \cdot B_{2} D_{2}) \cdot (A_{4} B_{5} \cdot B_{3} D_{3}) \cdot (A_{5} B_{1} \cdot B_{4} D_{4}) = \\ (2 \cdot A_{1} B_{2} B_{5}) \cdot (2 \cdot A_{2} B_{3} B_{1}) \cdot 2 \cdot A_{3} B_{4} B_{2}) \cdot (2 \cdot A_{4} B_{5} B_{3}) \cdot (2 \cdot A_{5} B_{1} B_{4}), \end{matrix}

és az átalakított szorzatok zárójelbe foglalt területtényezői rendre megegyeznek. Itt sem léphetett fel

0

tényező. Ezzel az állításokat bebizonyítottuk.