A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen adott az csúcsnál levő szög, . Rögzítsük a súlyvonalat és tekintsük egységnyinek. Így a háromszög csúcsa egy olyan köríven mozoghat, ahonnan szög alatt látszik (1. ábra). Ha az csúcs a íven végigfut, az adott -val a hasonlóság erejéig minden háromszög létrejön, amelyet vizsgálnunk kell. Mivel , az hányados minimuma, ill. maximuma helyett elég minimumát, ill. maximumát vizsgálnunk.
1. ábra
Ha minden helyzetében megrajzoljuk ennek felezőpontját, -et, akkor egy olyan látószög-körívet kapunk, amely az eredetiből középpontú, arányú kicsinyítéssel származik. Az akkor minimális, ill. maximális, amikor a harmadrésze, minimális, ill. maximális, ahol az háromszög súlypontja. Keressük tehát a körívnek -től mért legközelebbi , illetve legtávolabbi pontját. Először foglalkozzunk az 1. ábrán vázolt esettel, azaz amikor hegyesszög. Ekkor és az pontot középpontjával összekötő egyenesen van. A keresett határok, amelyek között (és így jelen esetben is) változhat: , ill. . Jelöljük látókörének középpontját -val. Mivel , azért , és . Az értékét a koszinusztételből számolhatjuk, és így
2. ábra
3. ábra
Ha (2. és 3. ábra), akkor -től mért legközelebbi és legtávolabbi pontja a szakaszon van, a felezőpontja, pedig azonos -vel. Ekkor , . A súlyvonalak aránya tehát most és között változhat. Megjegyezzük hogy az és értékek itt csak elfajuló háromszögekben jöhetnek létre, míg esetén az ott kapott szélsőértékek valódi háromszögekben valósulnak meg, s ezek -nél kisebb, ill. -nél nagyobb értékek. L.L.
Böősi Imre (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn.) |