A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Könnyű látni, hogy ha (, ) egy megoldása (1)-nek, akkor (, ) is megoldás, ezért elég megkeresni azokat a megoldásokat, amelyekben (hiszen úgysem megoldás). Tekintsük -t egyelőre paraméternek, így a egyenletből ahol a diszkriminánst jelöli: | | ennek egy egész szám négyzetének kell lennie, másrészt (2) zárójelében -gyel osztható számnak kell adódnia. Így | | tehát és egymásnak a -re nézve kapcsolt osztói:
és innen, figyelembe véve (2)-t is:
miatt -nek és -nek egyező párosságúnak kell lennie, vagyis mindkettőnek párosnak. miatt pedig mindkettőnek -mal oszthatónak kell lennie, hiszen ha egyikük nem osztható vele, akkor a másik -nel osztható, így pedig nem osztható -mal. Eszerint és oszthatók -tal és további tényezőik csak a szám tényezőiből választhatók. Erre két lehetőség van (hiszen , egyező előjelűek, és miatt pozitívok): | | (fölcserélésük csak előjelét változtatná meg, ami lényegtelen). A másodikból nem egész; az elsőből | | ennélfogva (1)-nek csupán két megoldása van egész számokban: II. megoldás. Megpróbáljuk szorzattá alakítani az ismeretleneket tartalmazó tagokból álló kifejezést. Határozatlan együtthatókkal kísérletezve a kívánt | | azonosságból az együtthatók összehasonlítása alapján az egyenleteket kapjuk. Ezek szerint a , számok szorzata , összegük , vagyis e szorzatok kielégítik a egyenletet. Így , közül az egyik , a másik . Az szerint pedig ‐ ha az együtthatókat az egész számok között keressük ‐ és közül az egyik , a másik . Ha és , akkor már csak lehet, tehát és . A szorzattá alakítás után kapjuk, hogy (1) ekvivalens a egyenlettel. A bal oldal két tényezőjének a különbsége , ami osztható -mal, így a jobb oldalnak csak két felbontása jön szóba: és . Ha általában akkor Mivel nem osztható -tel, nem vezet egész megoldásra. Ha viszont , akkor , vagy , , tehát ez a két számpár az összes megoldás. |