Kezdőlap


Feladat:	F.1894	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 124 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: F.1894

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Könnyű látni, hogy ha ( $x_{0}$ , $y_{0}$ ) egy megoldása (1)-nek, akkor ( $- x_{0}$ , $- y_{0}$ ) is megoldás, ezért elég megkeresni azokat a megoldásokat, amelyekben $y > 0$ (hiszen $y = 0$ úgysem megoldás). Tekintsük $y$ -t egyelőre paraméternek, így a

\begin{matrix} 2 x^{2} - 17 y x + (8 y^{2} + 423) = 0 \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{1}{4} (17 y \pm \sqrt[]{D}), \end{matrix}

(2)

ahol

D

a diszkriminánst jelöli:

\begin{matrix} D = 289 y^{2} - 8 (8 y^{2} + 423) = 225 y^{2} - 3384, \end{matrix}

ennek egy

z

egész szám négyzetének kell lennie, másrészt (2) zárójelében

4

-gyel osztható számnak kell adódnia. Így

\begin{matrix} 225 y^{2} - z^{2} = (15 y - z) (15 y + z) = 3384 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 47, \end{matrix}

tehát

15 y - z = d_{1}

és

15 y + z = d_{2}

egymásnak a

3384

-re nézve kapcsolt osztói:

\begin{matrix} 15 y - z = d_{1}, \\ 15 y + z = d_{2}, \end{matrix}

és innen, figyelembe véve (2)-t is:

\begin{matrix} y = \frac{d_{1} + d_{2}}{30}, z = \frac{d_{2} - d_{1}}{2}, \\ x_{1} = \frac{1}{4} (17 y + z) = \frac{d_{1} + 16 d_{2}}{60}, x_{2} = \frac{1}{4} (17 y - z) = \frac{16 d_{1} + d_{2}}{60} . \end{matrix}

z

miatt

d_{1}

-nek és

d_{2}

-nek egyező párosságúnak kell lennie, vagyis mindkettőnek párosnak.

y

miatt pedig mindkettőnek

3

-mal oszthatónak kell lennie, hiszen ha egyikük nem osztható vele, akkor a másik

3^{2}

-nel osztható, így pedig

d_{1} + d_{2}

nem osztható

3

-mal. Eszerint

d_{1}

és

d_{2}

oszthatók

6

-tal és további tényezőik csak a

3384 : 6^{2} = 94 = 2 \cdot 47

szám tényezőiből választhatók. Erre két lehetőség van (hiszen

d_{1}

d_{2}

egyező előjelűek, és

y > 0

miatt pozitívok):

\begin{matrix} vagy {\begin{matrix} d_{1} = 6 \cdot 1, \\ d_{2} = 6 \cdot 94, \end{matrix} vagy {\begin{matrix} d_{1} = 6 \cdot 2, \\ d_{2} = 6 \cdot 47. \end{matrix} \end{matrix}

(fölcserélésük csak

z

előjelét változtatná meg, ami lényegtelen).
A másodikból

y

nem egész; az elsőből

\begin{matrix} y = 19, z = 279, x_{1} = 11, x_{2} nem egész, \end{matrix}

ennélfogva (1)-nek csupán két megoldása van egész számokban:

\begin{matrix} x = 11, y = 19 és x = - 11, y = - 19. \end{matrix}

II. megoldás. Megpróbáljuk szorzattá alakítani az ismeretleneket tartalmazó tagokból álló kifejezést. Határozatlan együtthatókkal kísérletezve a kívánt

\begin{matrix} 2 x^{2} - 17 x y + 8 y^{2} = (A x + B y) (C x + D y) \end{matrix}

azonosságból az együtthatók összehasonlítása alapján az

\begin{matrix} A C = 2, B D = 8, B C + A D = - 17 \end{matrix}

egyenleteket kapjuk. Ezek szerint a

B C

A D

számok szorzata

16

, összegük

- 17

, vagyis e szorzatok kielégítik a

\begin{matrix} z^{2} + 17 z + 16 = 0 \end{matrix}

egyenletet. Így

B C

A D

közül az egyik

- 1

, a másik

- 16

. Az

A C = 2

szerint pedig ‐ ha az együtthatókat az egész számok között keressük ‐

A

és

C

közül az egyik

1

, a másik

2

. Ha

A = 2

és

C = 1

, akkor

A D

már csak

- 16

lehet, tehát

D = - 8

és

B = - 1

.
A szorzattá alakítás után kapjuk, hogy (1) ekvivalens a

\begin{matrix} (2 x - y) (8 y - x) = 9 \cdot 47 \end{matrix}

egyenlettel. A bal oldal két tényezőjének a különbsége

(9 y - 3 x)

, ami osztható

3

-mal, így a jobb oldalnak csak két felbontása jön szóba:

3 \cdot 141

és

(- 3) \cdot (- 141)

. Ha általában

\begin{matrix} 2 x - y = U és 8 y - x = V, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x = \frac{8 U + V}{15}, y = \frac{U + 2 V}{15} . \end{matrix}

Mivel

141 + 2 \cdot 3

nem osztható

5

-tel,

U = \pm 141

nem vezet egész megoldásra. Ha viszont

U = \pm 3

, akkor

x = 11

y = 19

vagy

x = - 11

y = - 19

, tehát ez a két számpár az összes megoldás.