Kezdőlap


Feladat:	F.1893	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Pálfalvi György
Füzet:	1974/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: F.1893

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A megoldás során a következő azonosságokat alkalmazzuk:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + c a); \\ a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a + b + c) (a b + b c + c a) + 3 a b c = \\ = {(a + b + c)}^{3} + 3 a b c - 3 (a + b + c) (a b + b c + c a); \\ a^{4} + b^{4} + c^{4} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) = \\ = {[{(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + c a)]}^{2} - 2 [{(a b + b c + c a)}^{2} - 2 (a + b + c) a b c] . \end{matrix}

A bizonyítandó azonosság bal és jobb oldalát ekvivalens átalakításokkal közös alakra hozzuk: ebből már tényleg következik a két oldal egyenlősége:
A bal oldal

a + b + c = 1

felhasználásával így alakul:

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} = {[{(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + c a)]}^{2} - 2 [{(a b + b c + c a)}^{2} - 2 (a + b + c) a b c] = \\ = {[1 - 2 (a b + b c + c a)]}^{2} - 2 [{(a b + b c + c a)}^{2} - 2 a b c] = \\ = 1 - 4 (a b + b c + c a) + 4 {(a b + b c + c a)}^{2} - 2 {(a b + b c + c a)}^{2} + 4 a b c = \\ = 1 - 4 (a b + b c + c a) + 2 {(a b + b c + c a)}^{2} + 4 a b c . \end{matrix}

Míg a jobb oldal:

\begin{matrix} \frac{1}{2} {[1 - 2 (a b + b c + c a)]}^{2} - [1 - 2 (a b + b c + c a)] + \\ + \frac{4}{3} [1 - 3 (a b + b c + c a) + 3 a b c] + \frac{1}{6} = \\ = \frac{1}{2} - 2 (a b + b c + c a) + 2 {(a b + b c + c a)}^{2} - 1 + \\ + 2 (a b + b c + c a) + \frac{4}{3} - 4 (a b + b c + c a) + 4 a b c + \frac{1}{6} = \\ = 1 - 4 (a b + b c + c a) + 2 {(a b + b c + c a)}^{2} + 4 a b c . \end{matrix}

Így az eredeti egyenlőség valóban fennáll.

II. megoldás. Mivel

a + b + c = 1

, azért amennyiben a bizonyítandó állítás helyett azt mutatjuk meg, hogy az

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} = & (2) \\ = \frac{1}{2} {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) {(a + b + c)}^{2} + \frac{4}{3} (a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a + b + c) + \\ + \frac{1}{6} {(a + b + c)}^{4} \end{matrix}

összefüggés minden

a

b

c

számra fennáll, akkor készen vagyunk. Ennek igazolása végett a jobb oldalon mindegyik tagban kifejtjük a többtagúak hatványait:

\begin{matrix} \frac{1}{2} {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} = \frac{1}{2} [(a^{4} + b^{4} + c^{4}) + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})], \\ - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) {(a + b + c)}^{2} = \\ = - (a^{4} + b^{4} + c^{4}) + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) + 2 [a (b^{3} + c^{3}) + b (c^{3} + a^{3}) + \\ + c (a^{3} + b^{3}) + 2 (a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2})]; \\ \frac{4}{3} (a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a + b + c) = \frac{4}{3} [a^{4} + b^{4} + c^{4} + a (b^{3} + c^{3}) + b (c^{3} + a^{3}) + c (a^{3} + b^{3})]; \\ \frac{1}{6} {(a + b + c)}^{4} = \frac{1}{6} (a^{4} + b^{4} + c^{4}) + 6 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) + \\ + 4 [a (b^{3} + c^{3}) + b (c^{3} + a^{3}) + c (a^{3} + b^{3}) + 12 (a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2})] . \end{matrix}

Ezeket összeadva kapjuk, hogy összegük

\begin{matrix} (\frac{1}{2} - 1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{6}) (a^{4} + b^{4} + c^{4}) = a^{4} + b^{4} + c^{4}, \end{matrix}

vagyis (2) valóban áll.

Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)