Kezdőlap


Feladat:	F.1892	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/március, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: F.1892

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alaplap $A$ , $B$ , $C$ , $D$ csúcsai rajta vannak a szemben fekvő $E$ (négyélű) csúcs, körüli $a \sqrt[]{3}$ sugarú gömbön. Ez a gömb az alapsíkot körben metszi, tehát az alapnégyszög körbe írt paralelogramma: téglalap, és a köréje írt kör középpontja az átlók $O$ metszéspontja és $E O$ a gúla magassága. Így a gúla szimmetrikus az $A B$ és $A D$ alapélek felező merőleges síkjára, és az $E O$ mint tengely körüli $180^{\circ}$ -os elfordítás is önmagába viszi át a testet.

Ezek szerint az alapidom két átlója egyenrangú, elég a kívánt metsző

S

síkot a

B D

átlón át fölvennünk. Az

S

meghatározásához még szükséges oldalélt lényegében kétféleképpen választhatjuk:

S

vagy az

E A

és

E C

valamelyikével párhuzamos, vagy pedig az

E B

-vel párhuzamos és ekkor át is megy rajta, valamint

E D

-n is, a metszet az

E B D

egyenlő szárú háromszög. (Tulajdonképpen csak az első lehetőség vizsgálatát tekintjük igazi feladatunknak. A második értelmezés kissé erőltetett, de a kitűzés ezt is megengedi ‐ az idézett forrásbeli megfogalmazásban ez nem jöhetett szóba ‐ ezért mindjárt elintézzük: a

B D

átló hossza

a \sqrt[]{5}

E B O

derékszögű háromszögből a magasság

E O = a \sqrt[]{7} / 2

és az

E B D

háromszög területe

a^{2} \sqrt[]{35} / 4

.)
A mondott forgási szimmetria a

B D

átló megkülönböztető kiválasztása után is megmarad, választhatjuk tehát úgy, hogy

S

E A

-val legyen párhuzamos.

E C

-vel való metszéspontját

P

-vel jelölve,

S

és az

E A C

sík metszésvonala nyilván

P O

, és ez az

E A C

háromszög középvonala, tehát

P O = E A / 2

.
Legyen

P

és

C

merőleges vetülete

B D

-n

P_{1}

illetve

C_{1}

ekkor

O P_{1} = P_{1} C_{1}

, hiszen e szakaszok a

B D

-re

E

-n,

P

-n és

C

-n át állított merőleges síkok szomszédos párjai közti távolságok, és

E P = P C

miatt e távolságok egyenlők (az ábra jobb oldali részén

P_{2}

P

vetülete az alapsíkon). Mármost egymás utáni derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} B C_{1} = \frac{B C^{2}}{B D} = \frac{4 a}{\sqrt[]{5}}, O C_{1} = \frac{3 a}{2 \sqrt[]{5}}, O P_{1} = \frac{3 a}{4 \sqrt[]{5}}, \\ P P_{1}^{2} = \sqrt[]{O P^{2} - O P_{1}^{2}} = \frac{\sqrt[]{51} a}{4 \sqrt[]{5}}, \end{matrix}

és így a

P B D

háromszög területe

a^{2} \sqrt[]{51} / 8