A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
Ha (1)-et teljes indukcióval akarjuk bizonyítani, azt kell ellenőriznünk, teljesül-e az legkisebb szóba jövő értékére, és azt, hogy az egyes oldalak megváltozása nem változtat-e az egyenlőtlenség irányán, ha -ről áttérünk -re. Ha , akkor (1) az egyenlőtlenséget jelenti; ami valóban igaz. Ha -ről áttérünk -re, a bal oldal megváltozása | | az egyenlőtlenséglánc középső tagjának a megváltozása végül a jobb oldal megváltozása | | Elég tehát a vagy a kicsit többet mondó egyenlőtlenséget bizonyítani az egészekre. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az , , , számokra. Ezeknek a számoknak a mértani közepe számtani közepe pedig Az egyenlőtlenségből épp (2) jobb oldalát kapjuk. Az összefüggés alapján alakítsuk a (2) közepén álló kifejezés -ik hatványát szorzattá:
Ez egy -tényezős szorzat, elég belátnunk, hogy mindegyik tagja nagyobb -nál: | | (3) | Ismét a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget akarjuk felhasználni: veszünk számot, melyek mindegyike -vel egyenlő, és veszünk egymással egyenlő pozitív számot, amelyek szorzata -dal egyenlő. Ezek mértani közepének -adik hatványa számtani közepe pedig ahol . Eszerint készen vagyunk, ha sikerül -t úgy megválasztani, hogy legyen, hiszen ekkor , ami ekvivalens a bizonyítandó (3)-mal. Az egyenlőtlenség feltétele
ami teljesül például mellett: tehát .
Megjegyzések. 1. Hasonlóan látható be, hogy (1) igaz marad, ha a bal oldalára -t írunk. 2. A (2) közepén álló számok sorozata monoton fogy, de a tagjai nagyobbak a megoldásban szereplő alakú számok mindegyikénél, ez utóbbiak sorozata viszont monoton nő. Tehát az számokra teljesül. Ebből következik, hogy ha , akkor a (2)-nél élesebb egyenlőtlenség is igaz, ahol tetszőleges egész szám. Azt is he lehet bizonyítani, hogy egyetlen olyan szám van, amelyre teljesül minden és mellett, és ez az a felsőbb matematika nevezetes, -vel jelölt konstansának a reciproka:
|
|