Kezdőlap


Feladat:	F.1888	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Pálfalvi György
Füzet:	1974/április, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: F.1888

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A $K_{1}$ kifejezés ismeretlen tagja maga is mindenesetre négyzetszám: $4^{x} = {(2^{x})}^{2}$ , tehát feladatunk a $4^{10} + 4^{16}$ számot két négyzetszám különbségeként előállítani. Olyan megoldást keresünk, melyben $x ≧ 10$ . Ebben a követelmény szerint

\begin{matrix} K_{1} = 4^{10} (1 + 4^{6} + 4^{x - 10}) = N^{2}, \\ 1 + 4^{6} + 4^{x - 10} = 4097 + {(2^{x - 10})}^{2} = {(\frac{N}{4^{5}})}^{2}, \\ 4097 = n^{2} - z^{2} = (n - z) (n + z), \end{matrix}

ahol

n

és

z

természetes számok, és

z

-ként csak a 2-nek egy nemnegatív egész kitevőjű hatványa fogadható el. Törzstényezők szorzatára felbontva

4097 = 1 \cdot 4097 = 17 \cdot 241

, így a szóba jövő

n

z

értékpárok

\begin{matrix} \begin{matrix} n - z = 1 \\ n + z = 4097 \end{matrix}} -ből z = 2048 = 2^{11}, n = 2049, \\ \begin{matrix} n - z = 17 \\ n + z = 241 \end{matrix}} -ből z = 112, ez nem felel meg. \end{matrix}

Eszerint

x - 10 = 11

x = 21

megfelelő kitevő, éspedig

\begin{matrix} 4^{10} + 4^{16} + 4^{21} = 4^{5} \cdot 2049^{2} . \end{matrix}

Mivel a feladat nem kívánja minden megfelelő

x

megkeresését,

K_{1}

kérdését megoldottnak tekinthetjük.
A kapott eredményből a feladat második kérdésére is kiolvashatunk egy megoldást,

y = 10

mellett

K_{2}

teljes négyzet.
b) Ugyanezzel az eljárással az

y ≧ 16

megszorítás alapján a

\begin{matrix} K_{2} = 4^{16} (1 + 4^{5} + 4^{y - 16}) = {(4^{8})}^{2} {1025 + {(2^{y - 16})}^{2}} = M^{2}, \\ 1025 + u^{2} = m^{2} \end{matrix}

követelményből, ahol

u = 2^{y - 16}

és

m = M / 4^{8}

, két megfelelő

u

y

m

M

számnégyes adódik:

\begin{matrix} m - u & m + u & u & m \end{matrix}