Kezdőlap


Feladat:	F.1887	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/április, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Százalékszámítás, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: F.1887

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat gyakorlati tartalmának megfelelően csak az $x ≧ y > 0$ , $0 ≦ z ≦ 100$ esetekkel foglalkozunk. Tekintsük előbb a gyorsan elintézhető eseteket.
Amennyiben $y = x$ , úgy a készlet még az első napon elfogy; tovább csak az $y < x$ eseteket tekintjük.
Ha $z = 100$ , akkor az áru a 2. napi selejtezésben fogy el.
Ha $z = 0$ , akkor egyáltalán nem selejteznek, az első, a második, $...$ , az $(n - 1)$ -edik napi eladás után rendre $x - y$ , $x - 2 y$ , $...$ , $x - (n - 1) y$ kg áru marad, és az áru éppen az $n$ -edik napon fogy el, ha $0 < x - (n - 1) y ≦ y$ , azaz ha

\begin{matrix} n - 1 < \frac{x}{y} ≦ n (n egész szám) . \end{matrix}

Vezessük be a készletből a selejtezés után megmaradó töredékre a

w = 1 -

- \frac{z}{100}

jelölést, erre a már elintézettek alapján

0 < w < 1

. Egy tetszőleges

n

-edik nap elején

(n ≧ 2)

, a selejtezés után az árukészlet

\begin{matrix} K_{n} = (... ((x - y) \cdot w - y) \cdot w - ... - y) \cdot w \end{matrix}

lesz, feltéve, hogy ez pozitív. Itt

(n - 1)

-szer szerepel

y

levonása is, a

w

-vel való szorzás is. Kellő alakítással

\begin{matrix} K_{n} = x \cdot w^{n - 1} - y (w^{n - 1} + w^{n - 2} + ... + w^{2} + 2) = x w^{n - 1} - y \cdot \frac{w - w^{n}}{1 - w}, \end{matrix}

és ezt a készletet amellett az

n

sorszám mellett adják el az

n

-edik napon, amelyre

\begin{matrix} 0 < x w^{n - 1} - y \frac{w - w^{n}}{1 - w} ≦ y, \\ (0 <) w^{n} ≦ \frac{w y}{x (1 - w) + w y} < w^{n - 1} (< 1), \end{matrix}

ugyanis a nevezőre

x (1 - w) + w y > w y > 0

. Áttérve tízes alapú logaritmusokra,

lg w < 0

figyelembevételével feladatunk megoldása az az

n

egész szám, amelyre

\begin{matrix} n ≧ \frac{lg w y - lg [x (1 - w) + w y]}{lg w} > n - 1, \end{matrix}

(1)

(Az imént mondott nagyságviszony szerint a számláló szintén negatív.)
Összefoglalva, az áru kiárusítása
az 1. napon fejeződik be, ha

y = x

z

bármi; a 2. napon fejeződik be, ha

y < x

és

z = 100

;
és az

n

-edik napon a következő két feltétel pár mellett:

\begin{matrix} z = 0, n - 1 < \frac{x}{y} ≦ n, \\ 0 < z < 100, n - 1 < r ≦ n, \end{matrix}

ahol

r

az (1)-ben álló hányadost rövidíti.