|
Feladat: |
F.1886 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Bartha Miklós , Bezdek K. , Bíró B. , Borbély A. , Cséplő G. , Darida Margit , Detzky G. , Ernhöffer F. , Fazekas l. , Fejér Sz. , Fördős J. A. , Handbauer R. , Hargitai B. , Hollósy Attila , Horváth Eszter , Horváth Mária , Horváth Ottó , Illés G. , Jakab T. , Kiss Béla , Kiss Emil , Kovács Imre , Kovács Zoltán , Lelkes A. , Molnár Gy. , Orosz Á. , Papp L. , Pócsi Gy. , Rapp F. , Réthy I. , Schvarcz T. , Simányi N. , Siptár M. , Sparing L. , Süvöltős F. , Takáts T. , Timár J. , Tóth A. , Uzonyi Gy. , Veres S. , Vladár K. |
Füzet: |
1974/március,
103 - 105. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vetítések, Téglatest, Hossz, kerület, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szerkesztések a térben, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1973/május: F.1886 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Lényegében az , kitérő egyenespár normáltranszverzálisának -n levő végpontját kell megszerkesztenünk, majd ezt ismételnünk, szerepére -t, végül -t véve. Ennek megoldását ismerjük a tankönyvből olyan esetre, ha a két egyenes vetületeivel van megadva a Monge-féle képsíkrendszerben; a transzverzális képeit a képsíkrendszer (általában kétszeri) transzformációja és visszatranszformálás útján kapjuk meg.
1. ábra Esetünkben könnyítést ad, hogy a téglatestnek rendre két-két lapsíkjából alakítva képsíkrendszerünket, a mozgó pont által bejárt élek kitüntetett helyzetűvé, vetítőegyenessé válnak, ezért már az eredeti képekből megkapjuk a normáltranszverzális végpontjait. Az eljárást két függőleges képsík ( és ) alkalmazásával mutatja be az 1. ábra, az átló és a él (a 2. pályaszakasz) legrövidebb távolsága az (az alábbiak szerinti ) szakasz. Tetszetősebb azonban közvetlenül azt a meggondolást alkalmazni, amely az idézett eljárást készítette elő: -n át fölvesszük a -vel párhuzamos síkot ‐ ez az átlós sík, hiszen (2. ábra) ‐, erre a síkra merőlegesen rávetítjük -t, a vetület -ből kimetszi a transzverzális végpontját, végül ezt visszavetítve -re, kapjuk -t, a pályaszakasznak -hez legközelebbi pontját.
2. ábra A végrehajtás első lépésében elég -nek egy pontját vetíteni -re mondjuk -t, és legyen a vetület ‐, hiszen így a vetület az -en átmenő, -fel párhuzamos egyenes lesz; maga a egyenes merőlegesen áll egyrészt -re, tehát -re is, így benne lesz a -n át -re merőlegesen álló síkban, másrészt -re is, vagyis a vetülete -re. A mondott metszéspont visszavetítése pedig a síkban végezhető: , ismét azért, mert merőleges -re. A 2. ábrán ugyanígy szerkesztettük a és pályaszakasz -től mért , ill. távolságát az , ill. átlós sík felhasználásával. A 2. ábra szerkesztő vonalait vetületben szemlélve az 1. ábrát, ill. megfelelőit kapjuk, a különbözőség csak az, hogy az 1. ábra gépies lépéseihez hozzáfűztük a megfelelő gondolatot. Ezzel a kívánt számítást is előkészítettük. 2. Legyen , és . Az alakzat hasonló derékszögű. háromszögeit felhasználva | | | | A számadatokkal , egység, és eredményeink kellő átbetűzésével , , , egység (továbbá , , ). Bartha Miklós (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak., Gimn. IV. o. t.)
II. megoldás. Ha kiválasztjuk egy téglatest valamelyik testátlóját, ezzel a téglatest három lehetséges él iránya közül egyiket sem tüntettük ki. Bármelyik irányt vesszük is, a vele párhuzamos négy él közül kettő csatlakozik a választott testátlóhoz, kettő pedig kitérő hozzá viszonyítva, és e kettő a testátló felezőpontjára (a test szimmetriacentrumára) nézve tükrösen helyezkedik el. Elég tehát a éllel kapcsolatos teendőinket elvégezni, a másik két él esete ebből az élek szerepének alkalmas felcserélésével kapható meg. Fektessünk át -n -vel párhuzamos síkot: ez a téglatest átlós síkja. A szakasz végpontjainak az -en levő vetületét megkapjuk, ha -t -re, -t -re vetítjük. A vetületeket összekötő szakaszon vannak -nek -hez legközelebb levő pontjai. Tehát ennek a szakasznak -vel alkotott metszéspontja van pontjai közül -hez legközelebb. Ezt az metszéspontot -re visszavetítve kapjuk -nek -hez legközelebbi pontját. Ezzel a feladatot térbeli konstrukcióval megoldottuk. Megszerkeszthetjük a kérdéses szakaszok hosszát síkbeli szerkesztéssel is, ha adottak a téglatest oldalszakaszai.
3. ábra Rajzoljuk meg először az téglalapot, ennek átlója fölé pedig az téglalapot. Az egyenesre merőleges, -n átmenő egyenes metszi ki az , egyenesekből az , pontokat. -et -re merőlegesen vetítve kapjuk -nek -n levő vetületét. Az , , jelölésekkel
ahonnan , , behelyettesítéssel az I. megoldásban közölt eredményekkel azonos számokat kapunk. Czapáry E.‐Gyapjas F.‐Horvay Katalin‐Pálmay L.: Matematika a gimn IV. o. számára, Tankönyvkiadó, Budapest 1969. a 171‐I77. oldalon.
|
|