Feladat:	F.1884	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Horváth Mária
Füzet:	1974/január, 12 - 13. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Racionális számok és tulajdonságaik, Irracionális számok és tulajdonságaik, Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: F.1884

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+\text{sin}{}^{2}cx=\text{cos}x\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Látjuk, hogy az $x=0$ szám tetszőleges $c$-re megoldása az egyenletnek. A feladat tehát azt megállapítani, hogy mely $c$ értékekre nincs az egyenletnek $0$-tól különböző megoldása. Mivel $\text{sin}{}^{2}cx$ biztosan nemnegatív és $\text{cos}x$ maximális értéke $1$, azért (1) csak abban az esetben teljesülhet, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{}^{2}cx=0\text{és}\text{cos}x=1}\end{array}$ egyszerre fennáll, vagyis ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle cx=k\pi \mathrm{,}\text{ahol}k\text{egész szám}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle x=2m\pi \mathrm{,}\text{ahol}m\text{egész szám}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ Amennyiben van az egyenletnek $0$-tól különböző megoldása, akkor (3) szerint $m\ne 0$, és (3)-at (2)-be téve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle c=\frac{k}{2m}\mathrm{,}}\end{array}$ (4) azaz $c$ racionális szám. Ha viszont $c$ racionális szám, akkor az egyenletnek van nem nulla megoldása is: ha $c=\frac{p}{q}$, akkor $x=2q\pi$ kielégíti az egyenletet ($q\ne 0$, hiszen $c$ nevezőjében szerepel): $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+\text{sin}{}^2\left(\frac{p}{q}2q\pi \right)=1+\text{sin}{}^2\left(2p\pi \right)=1=\text{cos}\left(2q\pi \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Így azt kaptuk, hogy az (1) egyenletnek akkor és csak akkor van nullától különböző megoldása, ha $c$ racionális szám. Ebből következik, hogy egyetlen megoldás pontosan akkor van, ha $c$ irracionális.   Horváth Mária (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., IV. o. t.)