|
Feladat: |
F.1882 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Bara T. , Bezdek K. , Borbély A. , Braun J. , Cséplő G. , Ernhőffer F. , Forgács I. , Fördős J. A. , Hollósy A. , Horváth Ottó , Jakab T. , Kaiser L. , Katona Klára , Kiss Emil , Kószó K. , Lakner P. , Lévai M. , Lux István , Meszéna G. , Molnár László , Orosz Á. , Páles Zsolt , Pócsi Gy. , Radnóti P. , Rapp F. , Simányi N. , Sparing L. , Tóth András , Varga Katalin , Varga L. (Debrecen) , Veres S. |
Füzet: |
1974/január,
10 - 12. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Függvényvizsgálat, Polinomok szorzattá alakítása, Racionális együtthatós polinomok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1973/május: F.1882 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A létezés (exisztencia) bizonyításához elegendő megadni egyetlen olyan függvényt, amely kielégíti a követelményeket. Ilyen az, amelynek zérushelyei a , , racionális számok: | | mert a szélsőértékek abszcisszái az derivált zérushelyei: , , racionális számok (és így nyilvánvalóan még maguk a szélsőértékek is racionálisak).
Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Természetesen bármely racionális értékkel eltolva a gyökrendszert, az , , zérushelyekkel meghatározott (1) alakú függvénynek is megvan a kívánt tulajdonsága. 2. Az értékkel adódó , , gyökrendszerből kiindulva hasonlóan belátható, hogy a és értékek kivételével minden racionális mellett az , , zérushelyekkel meghatározott (1) alakú függvény is megfelelő.
Molnár László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)
II. megoldás. Legyenek a függvény zérushelyei: , , racionálisak, különbözők. Így a szélsőértékek abszcisszáját megadó | | (2) | egyenlet , gyökei biztosan racionálisak lesznek, ha egyikük , azaz ha hiszen ekkor A (3) szerint egyik -t sem választhatjuk -nak, hiszen például miatt lenne, és így nem lehetne mind a három különböző; ugyanezért kettőjük összege sem , mert például Ha mármost és céljára két különböző abszolút értékű és -tól különböző racionális értéket választunk, akkor velük együtt eleget tesz (3)-nak, és ez az különbözik -től is, -től is, ugyanis például Továbbá fennáll is, mert | |
Ezzel megoldottuk a feladatot.
Lux István (Tata, Eötvös J. Gimn., III. o. t.)
III. megoldás. Most egész , , gyökhármasokat keresünk (1) céljára. Könnyű belátni, hogy a (2) egyenlet diszkriminánsa átalakítással | | és hogy többszöröse a -nek. Ez egyenlő lesz valamely páros szám négyzetével, ha az ismeretlenekre teljesül | | (4) |
Láttuk az 1439. gyakorlatban, hogy | | (5) | és a két új alak közül legalább az egyikben egész számok négyzetéről van szó. Eszerint az egyenlet minden egész megoldásából kapunk a (4)-et kielégítő egész , , értékhármast, majd (egész) megválasztásával egyrészt egész -t, -at, másrészt (2) gyökeiként racionális értékeket. (6)-ra elég relatív prim , , számhármasokat megadni. Így a alakítás jobb oldala két tényezőjének is relatív prímnek kell lennie. Ezért egyikük teljes négyzet, másikuk egy teljes négyzet -szorosa: tehát ha és páratlan relatív prím számok, akkor megfelel (6)-ban | |
Például , mellett , , , majd , , végül választással , , lényegében az I. megoldásban közölt gyökhármasra jutottunk.
Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III, o. t.) Lásd K. M. L. 46 (1973) 214. old. |
|