Feladat:	F.1882	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bacsó G. ,  Bara T. ,  Bezdek K. ,  Borbély A. ,  Braun J. ,  Cséplő G. ,  Ernhőffer F. ,  Forgács I. ,  Fördős J. A. ,  Hollósy A. ,  Horváth Ottó ,  Jakab T. ,  Kaiser L. ,  Katona Klára ,  Kiss Emil ,  Kószó K. ,  Lakner P. ,  Lévai M. ,  Lux István ,  Meszéna G. ,  Molnár László ,  Orosz Á. ,  Páles Zsolt ,  Pócsi Gy. ,  Radnóti P. ,  Rapp F. ,  Simányi N. ,  Sparing L. ,  Tóth András ,  Varga Katalin ,  Varga L. (Debrecen) ,  Veres S.
Füzet:	1974/január, 10 - 12. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Függvényvizsgálat, Polinomok szorzattá alakítása, Racionális együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: F.1882

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle y=x^3+b{x}^2+cx+d}\end{array}$ (1) I. megoldás. A létezés (exisztencia) bizonyításához elegendő megadni egyetlen olyan függvényt, amely kielégíti a követelményeket. Ilyen az, amelynek zérushelyei a $-3$, $0$, $5$ racionális számok: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=x\left(x+3\right)\left(x-5\right)=x^3-2x^2-15x\mathrm{,}}\end{array}$ mert a szélsőértékek abszcisszái az $\begin{array}{c}{\displaystyle y\text{'}=3x^2-4x-15}\end{array}$ derivált zérushelyei: $-5/3$, $+3$, racionális számok (és így nyilvánvalóan még maguk a szélsőértékek is racionálisak).   Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzések. 1. Természetesen bármely racionális $r$ értékkel eltolva a gyökrendszert, az $r$, $r-3$, $r+5$ zérushelyekkel meghatározott (1) alakú $y=\left(x-r\right)\left(x-r+3\right)\left(x-r-5\right)$ függvénynek is megvan a kívánt tulajdonsága. 2. Az $r=4$ értékkel adódó $1$, $4$, $9$ gyökrendszerből kiindulva hasonlóan belátható, hogy a $q=0$ és $q=-1$ értékek kivételével minden racionális $q$ mellett az $1$, $q^2$, ${\left(q+1\right)}^2$ zérushelyekkel meghatározott (1) alakú függvény is megfelelő.   Molnár László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)   II. megoldás. Legyenek a függvény zérushelyei: ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ racionálisak, különbözők. Így a szélsőértékek abszcisszáját megadó $\begin{array}{c}{\displaystyle y\text{'}=\left(\left(x-{\alpha }_1\right)\left(x-{\alpha }_2\right)\left(x-{\alpha }_3\right)\right)\text{'}=3x^2-2\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)x+\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_3{\alpha }_1\right)=0}\end{array}$ (2) egyenlet ${\beta }_1$, ${\beta }_2$ gyökei biztosan racionálisak lesznek, ha egyikük $0$, azaz ha $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_3{\alpha }_1=\mathrm{0,}}\end{array}$ (3) hiszen ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\beta }_1=\mathrm{0,}{\beta }_2=\frac{2}{3}\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A (3) szerint egyik ${\alpha }_i$-t sem választhatjuk $0$-nak, hiszen például ${\alpha }_3=0$ miatt ${\alpha }_1{a}_2=0$ lenne, és így nem lehetne mind a három ${\alpha }_i$ különböző; ugyanezért kettőjük összege sem $0$, mert például $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_1+{\alpha }_2=-\frac{{\alpha }_1{\alpha }_2}{{\alpha }_3}\ne 0.}\end{array}$ Ha mármost ${\alpha }_1$ és ${\alpha }_2$ céljára két különböző abszolút értékű és $0$-tól különböző racionális értéket választunk, akkor velük együtt $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_3=-\frac{{\alpha }_1{\alpha }_2}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}\end{array}$ eleget tesz (3)-nak, és ez az ${\alpha }_3$ különbözik ${\alpha }_1$-től is, ${\alpha }_2$-től is, ugyanis például $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_1-{\alpha }_3=\frac{{\alpha }_1^2}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\ne 0.}\end{array}$ Továbbá fennáll ${\beta }_2\ne {\beta }_1$ is, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3{\beta }_2}{2}={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=\frac{{\left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)}^2-{\alpha }_1{\alpha }_2}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}=\frac{{\alpha }_1^3-{\alpha }_2^3}{{\alpha }_1^2-{\alpha }_2^2}\ne 0={\beta }_1\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel megoldottuk a feladatot.   Lux István (Tata, Eötvös J. Gimn., III. o. t.)   III. megoldás. Most egész ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ gyökhármasokat keresünk (1) céljára. Könnyű belátni, hogy a (2) egyenlet diszkriminánsa átalakítással $\begin{array}{c}{\displaystyle D=4{\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)}^2-12\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_3\right)=\left[2{\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)}^2+{\left({\alpha }_3-{\alpha }_2\right)}^2+{\left({\alpha }_3-{\alpha }_1\right)}^2\right]\mathrm{,}}\end{array}$ és hogy $D$ többszöröse a $4$-nek. Ez egyenlő lesz valamely $2\gamma$ páros szám négyzetével, ha az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_2-{\alpha }_1=\lambda \mathrm{,}{\alpha }_3-{\alpha }_2=\mu }\end{array}$ ismeretlenekre teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }^2+{\mu }^2+{\left(\lambda +\mu \right)}^2=2\left({\lambda }^2+\lambda \mu +{\mu }^2\right)=2{\gamma }^2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Láttuk az 1439. gyakorlatban,${}^{*}$ hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }^2+\lambda \mu +{\mu }^2={\left(\frac{\lambda -\mu }{2}\right)}^2+3{\left(\frac{\lambda +\mu }{2}\right)}^2={\left(\lambda +\frac{\mu }{2}\right)}^2+3{\left(\frac{\mu }{2}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ (5) és  a két új alak közül legalább az egyikben egész számok négyzetéről van szó. Eszerint az $\begin{array}{c}{\displaystyle u^2+3v^2={\gamma }^2}\end{array}$ (6) egyenlet minden egész megoldásából kapunk a (4)-et kielégítő egész $\lambda$, $\mu$, $\gamma$ értékhármast, majd ${\alpha }_1$ (egész) megválasztásával egyrészt egész ${\alpha }_2$-t, ${\alpha }_3$-at, másrészt (2) gyökeiként racionális ${\beta }_{\mathrm{1,}2}$ értékeket. (6)-ra elég relatív prim $u$, $v$, $\gamma$ számhármasokat megadni. Így a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3v^2=\left(\gamma -u\right)\left(\gamma +u\right)}\end{array}$ alakítás jobb oldala két tényezőjének is relatív prímnek kell lennie. Ezért egyikük teljes négyzet, másikuk egy teljes négyzet $3$-szorosa: $\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma -u=q^2\mathrm{,}\gamma +u=3r^2\mathrm{,}}\end{array}$ tehát ha $q$ és $r$ páratlan relatív prím számok, akkor megfelel (6)-ban $\begin{array}{c}{\displaystyle u=\frac{3r^2-q^2}{2}\mathrm{,}v=qr\mathrm{,}\gamma =\frac{3r^2+q^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Például $q=1$, $r=3$ mellett $u=13$, $v=3$, $\gamma =14$, majd $\lambda =16$, $\mu =-10$, végül ${\alpha }_1=-6$ választással ${\alpha }_2=10$, ${\alpha }_3=0$, lényegében az I. megoldásban közölt gyökhármasra jutottunk.   Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III, o. t.) ${}^{*}$Lásd K. M. L. 46 (1973) 214. old.