Kezdőlap


Feladat:	F.1881	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/február, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: F.1881

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $a$ , $b$ , $c$ pozitív számok, így $a + b + c > 0$ , tehát szorozva az állítás mindkét oldalát $(a + b + c)$ -vel, az egyenlőtlenség iránya nem változik meg:

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ a b c (a + b + c) = a^{2} b c + b^{2} a c + c^{2} a b, \end{matrix}

átrendezve

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} - a^{2} b c - a b^{2} c - a b c^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Amennyiben sikerül megmutatnunk, hogy ez az egyenlőtlenség minden

a

b

c

valós számra fennáll, úgy készen vagyunk.

Ámde a bal oldal így alakítható:

\begin{matrix} 4 a^{4} + 4 b^{4} + 4 c^{4} - 4 a^{2} b c - 4 a b^{2} c - 4 a b c^{2} = \\ = (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) + (b^{4} - 2 b^{2} c^{2} + c^{4}) + (c^{4} - 2 c^{2} a^{2} + a^{4}) + \\ + (2 a^{4} - 4 a^{2} b c + 2 b^{2} c^{2}) + (2 b^{4} - 4 b^{2} c a + 2 c^{2} a^{2}) + (2 c^{4} - 4 c^{2} a b + 2 a^{2} b^{2}) = \\ = {(a^{2} - b^{2})}^{2} + {(b^{2} - c^{2})}^{2} + {(c^{2} - a^{2})}^{2} + 2 {(a^{2} - b c)}^{2} + 2 {(b^{2} - c a)}^{2} + 2 {(c^{2} - a b)}^{2} . \end{matrix}

Így valóban igaz az egyenlőtlenség. Egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha

a^{2} = b^{2} = c^{2}

, azaz

a

b

c

pozitivitásából, ha

a = b = c

. Ekkor tényleg egyenlőség áll fenn.

II. megoldás. Ismeretes, hogy pozitív számok esetében igaz a következő két egyenlőtlenség:^{$^{*}$}

\begin{matrix} {(\frac{a + b + c}{3})}^{3} ≧ a b c, & (1) \\ (\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}) ≧ {(\frac{a + b + c}{3})}^{2} . & (2) \end{matrix}

A (2)-t az

a^{2}

b^{2}

c^{2}

pozitív számokra alkalmazva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3} ≧ {(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3})}^{2} . \end{matrix}

Ezt (2) négyzetével összevetve láthatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3} ≧ {(\frac{a + b + c}{3})}^{4} = (\frac{a + b + c}{3}) \cdot {(\frac{a + b + c}{3})}^{3} . \end{matrix}

Alkalmazva az (1) egyenlőtlenséget, majd a pozitív

(a + b + c) / 3

mennyiséggel átosztva, a bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk.
Mivel (1)-ben, illetve (2)-ben egyenlőség csak az

a = b = c

esetben lehetséges, így egyenlőség itt is csak

a = b = c

esetén lehet.

Megjegyzés. Az I. megoldás az

a

b

c

számokról mindössze annyit használt ki, hogy

a + b + c > 0

. Amennyiben ez teljesül, úgy az egyenlőtlenség is áll. Ha csak annyit kötünk ki, hogy

a + b + c > 0

legyen, akkor is szükséges az egyenlőséghez, hogy

a = b = c

legyen, amit az I. megoldás végén levő gondolatmenet átalakításával kaphatunk meg.

^{$^{*}$}Lásd pl. az Iskolai Függvénytáblázat 242. 61. képletét.