A $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontok közötti távolságokat a koordináták segítségével felírva azonnal látható, hogy $P_1{P}_2{P}_3$ szabályos háromszöget alkot (amely $a=b=c$ esetén ponttá fajul, e pont az $e$ egyenesen van és nincs mit bizonyítani). Az is nyilvánvaló, hogy a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontok az $e$ egyenes bármely rögzített $Q=\left(q\mathrm{,}q\mathrm{,}q\right)$ pontjától egyenlő távolságra vannak; válasszuk $Q$-t úgy, hogy ne essék a $P_1{P}_2{P}_3$ síkba. Eszerint $P_1{P}_2{P}_{3}Q$ olyan egyenes gúla, amelynek alapja szabályos háromszög és így a gúla $Q$-ból indított magasságvonala áthalad a $P_1{P}_2{P}_3$ háromszög $S$ súlypontján. Ám az