Feladat:	F.1876	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kun Andrea
Füzet:	1974/március, 101 - 103. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: F.1876

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{5}\left(2a_n^3-a_n^2+3a_n+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) 1. Megmutatjuk, hogy a sorozat fölülről korlátos és szigorúan monoton növekvő. Ebből már következik, hogy a sorozatnak van határértéke.${}^{*}$ a) A sorozat felülről korlátos, egy felső korlátja $1/2$. Ugyanis ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle a_1}\hfill & {\displaystyle =0<\frac{1}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle a_2}\hfill & {\displaystyle =\frac{1}{5}<\frac{1}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle a_3}\hfill & {\displaystyle =\frac{1}{5}\left(2\cdot \frac{1}{5^3}-\frac{1}{5^2}+3\cdot \frac{1}{5}+1\right)=\frac{1}{5}\left\{\frac{1}{5^2}\left(\frac{2}{5}-1\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}-1\right)\right\}+\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{2}<\frac{1}{2}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ hiszen a kapcsos zárójelben álló kifejezés mindkét tagja negatív. És hasonlóan, ha valamely $n$ indexre $a_n<\frac{1}{2}$, akkor ez a nagyságviszony öröklődik a következő elemre: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{5}\left({2a}_n^3-a_n^2+3a_n+1\right)=\frac{1}{5}\left\{a_n^2\left(2a_n-1\right)+\frac{3}{2}\left(2a_n-1\right)\right\}+\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{2}<\frac{1}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ hiszen a kapcsos zárójelben a negatív $\left(2a_n-1\right)$ kifejezést pozitív számokkal szoroztuk, majd összeadtuk. Ezzel első állításunkat bizonyítottuk. b) A vizsgált számsorozat szigorúan monoton növekedő. Ehhez azt kell belátnunk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}-a_n>0.}\end{array}$ Itt $a_{n+1}$ helyébe (1)-et téve, azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{5}\left(2a_n^3-a_n^2+3a_n+1\right)-a_n=\frac{1}{5}\left(2a_n-1\right)\left(a_n^2-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és ez pozitív, hiszen már tudjuk, hogy $a_n<1/2$, így a szorzat mindkét tényezője negatív. 2. Eredményeink szerint (1) bal oldalának határértékét $A$-val jelölve, jobb oldalának határértéke $\left(2A^3-A^2+3A+1\right)/5$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{1}{5}\left(2A^3-A^2+3A+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt $0$-ra redukálva, a bal oldal tényezőkre bontható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(A-1\right)\left(A+1\right)\left(2A-1\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ így $A$ értéke csak $+1$, $-1$ és $1/2$ valamelyike lehet. És mivel a sorozat minden tagja ‐ mint láttuk ‐ $0$ és $1/2$ közé esik, azért csak $A=1/2$ lehet. Kun Andrea (Szolnok, Verseghy F. Gimn. IV. o. t.)   Megjegyzés. Ábránk az $y=\left(2x^3-x^2+3x+1\right)/5$ függvénygörbét mutatja be a  $\left(-1;1\right)$ intervallumban, erről látjuk, hogy sorozatunk egymás utáni tagjai közelednek $\left(1/2\right)$-hez.     Az $y=x$ egyenes szerepe az, hogy $a_2$-nek az $y$ tengelyen leolvasott értékét az egytollú nyilak mentén "átvisszük'' az $x$ tengelyre, ebből mint abszcisszából olvassuk le $a_3$ értékét (kéttollú nyilak), és így tovább. Ez később már úgy ,,egyszerűsödik'', hogy csak a görbe és az egyenes között lépegetünk a tengelyekkel párhuzamosan (a jelentését azonban nem szabad elfelejteni!). Hasonlóan látható, hogy ugyanerre az eredményre jutunk $a_1$ helyett bármely olyan $a{\text{'}}_1$-ből indulva, amelyre $-1<a{\text{'}}_1<1$. Ha $a{\text{'}}_1=-1$ vagy $a{\text{'}}_1=1$, akkor a sorozat minden tagja $-1$, illetve $+1$, ha pedig $|a{\text{'}}_1|>1$, akkor divergens sorozatot kapunk. ${}^{*}$Lásd az 1869. feladathoz fűzött megjegyzéseket, K. M. L. 47 (1973) 130. oldal.