|
Feladat: |
F.1875 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Bara T. , Jakab T. , Páles Zs. , Pócsi Gy. , Schwarcz T. , Veres Sándor |
Füzet: |
1973/november,
130 - 132. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Binomiális együtthatók, Műveletek polinomokkal, Számsorozatok, Természetes számok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1973/április: F.1875 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
Jelöljük az összeget -nel. (Egyébként az összegezést az paraméter nem érinti.) Az és esetben, határozatlan mellett
Az és esetekben adódó hasonló kifejezések láttán az a sejtésünk alakul ki, hogy minden természetes szám esetén a következő kifejezéssel egyenlő: | | (2) | ezt fogjuk bizonyítani. Az és esetekben kapott kifejezése nem egyszerűsíthető az -et tartalmazó tényezővel, tehát általában nem egyszerűsíthető. Másrészt (2) nevezője éppen az (1) tagjaiban szereplő db nevező szorzata, és így alkalmas a tagok közös nevezőjének szerepére. (Más nevező nem léphet föl, ugyanis az (1)-ben szereplő binomiális együtthatók egész számok, úgyszintén a indexű tagnak tényezője is.) Ha tehát a sejtett azonosságot a (2)-beli | | nevezővel, az határozatlannak -edfokú polinomjával megszorozzuk:
a bal oldalnak mind az tagja -edfokú polinomja az -nek, így összegük is, mert az hatvány együtthatója minden tagban pozitív. Ugyancsak -edfokú polinom a (3)-nak jobb oldala is. Két egyező fokszámú (egyváltozós) polinom akkor és csak akkor azonos, ha értékük 1-gyel több (különböző) helyen megegyezik, mint a fokszámuk. A bizonyításhoz megkívánt helyet természetesen tetszőlegesen választhatjuk, legyenek ezek , vagyis a szummációs betű (1)-ben előírt értékeinek -szeresei. Így minden egyes esetben egyetlen tagból áll, mert az | | tag kivételével a további tag mindegyikében megmarad a tényező. A megmaradó tag pedig így alakul: | | megjegyezve, hogy ez az írásmód csak azt jelenti, hogy a -tól kezdve egyesével növekedően következő tényező közül kimarad a ; elöl számú negatív tényező áll ‐ speciálisan esetén nincs negatív tényező ‐, utána pedig számú pozitív tényező ‐ speciálisan , azaz esetén nincs pozitív tényező. Eszerint a binomiális együtthatók előtt álló db tényező a tényezők kiemelésével két faktoriálisba foglalható össze, illetve és esetén egybe. A binomiális együtthatók is kifejezhetők faktoriálisokkal, ezért | |
A számlálókat tovább alakítjuk a ! páros és páratlan tényezőinek különválasztásával adódó
azonosság felhasználásával: | | ismét megjegyezve, hogy a tényező után először számú, majd számú tényező áll 1-től 2-esével növekedve ‐ és ez érvényes és esetén is. Ha itt a tényezővel, azaz számú -es tényezővel beszorzunk a mondott első számú tényezőbe, és ezek sorrendjét megfordítjuk, akkor | | ez pedig éppen a értéke az helyen [lásd (3) jobb oldalát]. Ezzel a sejtett azonosságot bebizonyítottuk, (1)-nek szumma jelet nem tartalmazó alakja a (2), a feladatot megoldottuk. Veres Sándor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., M. o. t.) Megjegyzések: 1. Nem lényeges a feladat szövegének ez a korlátozása: természetes szám, az azonosságot minden valós -re igazoltuk a speciális értékek felhasználásával. Ugyanígy (1) és (2) egyenlősége is fennáll minden olyan helyen, ahol értelmezve vannak. 2. A feladat tulajdonképpen az (1) összegnek szorzattá alakítása volt, arra gondolva, hogy szorzatok általában kényelmesebben számíthatók vagy kezelhetők tovább, mint összegek, különösen szorzatok összegei. De ha a jel példájára az ,,és így tovább''-nak ,,'' jelét sem engedjük meg, látszólag eltüntethetjük ezeket (2)-ből, faktoriálisok, binomiális együtthatók bevezetésével. -en ismét természetes számot értve, a nevező mindjárt így írható: És ha (2)-t a nevezőjével bővítjük, majd a számláló db új tényezőjének mindegyikét 2-vel szorozzuk és így beiktatjuk két-két eddigi tényező közé, akkor ezt is írhatjuk két faktoriális hányadosaként, majd az egész kifejezést két binom együttható hányadosaként:
Az ,,és így tovább'' a faktoriálisban rejtve van jelen. Veres Sándor
|
|