A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Azt fogjuk felhasználni, hogy az és féltengelyekkel bíró ellipszis előállítható a főköréből a nagytengelyre merőleges irányú, arányú összenyomással, vagyis ha a nagytengely mint átmérő fölötti kör tetszőleges pontjának a nagytengelyen levő (merőleges) vetülete , akkor a szakasznak a egyenlőséget teljesítő pontja az ellipszisen van; továbbá fordítva, az ellipszis bármely pontjának a nagytengelyen levő vetületét -vel jelölve, a félegyenesnek az a pontja, amelyre , a főkörön van. ‐ Szemléletesség kedvéért ellipszisünk kistengelyét függőlegesen tartjuk, így nagytengelye ‐ mint egyenes ‐ vízszintes síkot ír le a forgatás folyamán; ezt egyenlítősíknak fogjuk nevezni, a nagytengely két végpontja által leírt kört pedig az ellipszoid egyenlítőkörének. Továbbá ellipszisünk síkja minden helyzetben függőleges és az ellipszoid vizsgálandó metszősíkjai is függőlegesek. Forgassuk ellipszisünkkel a főkörét is, ez gömböt ír le ─ nevezzük jellegzetesebb szóval főgömbnek. ‐ Azt mondhatjuk, hogy az ellipszoid a főgömbből a fenti értelemben függőleges irányú, arányú összenyomással áll elő, helyén a pontoknak mindig az egyenlítősíkon levő vetületét értve. Ebbe a megállapításba már azt is beleértettük, hogy akár az ellipszoid, akár a főgömb tetszőleges pontjából kiindulva a rajta átmenő függőleges (azaz vetítő-) egyenesen van pontja a főgömbnek, illetve az ellipszoidnak, mégpedig az egyenlítősíknak ugyanazon az oldalán, mint a kiindulási pont. Ezt a pontot úgy kapjuk, hogy vesszük a kiindulási ponton és a forgástengelyen átmenő síkot, ez az ellipszoidból és a főgömbből a mozgó ellipszisnek és főkörnek egy összetartozó helyzetét metszi ki, állításunk síkbeli megfelelőjét pedig eleve ismertnek vettük. Ezek után bizonyításul csak arra hivatkozunk, hogy minden függőleges sík ‐ ha metszi az ellipszoidot ‐, akkor metszi a főgömböt is, éspedig olyan körben, amelynek középpontja az egyenlítősíkban van, hiszen a metszetkör középpontját -ből az a rá merőleges egyenes metszi ki, amely átmegy a főgömb középpontján, ez pedig merőleges a forgástengelyre, tehát vízszintes helyzetű. A metszetkörnek az egyenlítősíkban levő átmérője az egyenlítőkörnek az a húrja, amely rajta van és az egyenlítősík metszésvonalán. Mármost az ellipszoid és közös pontjainak halmaza -ból az -re merőleges irányú, arányú összenyomással áll elő, tehát ellipszis. A feladat állításához képest többleteredményként azt is megkaptuk, hogy a vizsgált metszetellipszisek hasonlóak a megforgatott ellipszishez, ezen azt értve, hogy tengelyeik aránya egyenlő.
Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn.) Megjegyzések. 1. Az érkezett dolgozatok többsége térbeli koordináta-rendszert használt, az ellipszoidra és a metsző síkra egyenletet írt fel, és e két egyenlet együttesét értelmezte ellipszisként. Lépéseik többnyire nem kifogásolhatók ‐ és ezért elfogadtuk őket ‐, de bizonyos ösztönös, ki nem mondott általánosításokra, kiterjesztésekre is támaszkodnak. Az is hiányzik, hogyan kapható a metsző síkban az a koordináta-rendszer, amelynek felhasználásával adódik a metszésvonalnak ellipszis mivolta. Ajánljuk olvasóinknak, válasszák el az ellipszisről, hiperboláról, paraboláról alkotott fogalmukat a koordináta-rendszertől. A kúpszeletek léteznek, vizsgálhatók koordinátageometria nélkül is, tisztán geometriai módon. Ezzel nem kívánjuk kisebbíteni a koordinátageometria jelentőségét, csak a helytelen túlértékelés ellen szólunk. 2. Azt is be lehet látni, hagy az ellipszoid minden síkmetszete ellipszis ‐ a forgástengelyre merőleges sík esetében természetesen speciálisan kör. Alább ezt vázoljuk, előkészítve a megfelelő síkbeli feladat szemléletes tárgyalásával. Ellipszispontnak a főkör egy pontjából való "összenyomásos'' szerkesztése értelmezhető úgy is, hogy keressük az ellipszis metszéspontját egy, a nagytengelyére merőleges egyenessel (de a szimmetria miatt elég az egyiket szerkeszteni, a másik ennek tükörképe). Az -n levő főköri pont puszta kijelölése elé iktassuk be a következő gondolatot. Tudjuk, hagy az -n levő, keresett ellipszispont arányú nyújtással "feljut'' a főkörre, ezért -nek minden pontját megnyújtjuk -szeresen, és azt keressük meg, melyik megnyújtott pont esik a főkörre, a -ba. Itt az minden pontjának megnyújtása címén semmit sem kell rajzolnunk, mert a tengelyre merőleges "önmagán'' nyúlik meg. Ez a kiegészített gondolat a tengelyhez hajló egyenes metszéspontjainak meghatározására is alkalmas. Itt viszont jellegzetesebb az ábra azzal, hogy minden pontját megnyújtva tőle különböző egyenest kapunk. Evégett elég nyújtani egyetlen pontját, hiszen a tengelyen levő pontja nyújtva is helyben marad. (Az ábrán a tengelytől -re levő -t nyújtottuk, így a kép távolságra lesz.) Megrajzolva -t, , "újraösszenyomása'' abból áll, hogy merőlegesen "visszavetítjük'' őket -re.
Mármost, újra a térben: ha az ellipszoid forgási tengelyéhez ferdén hajló sík metszi az ellipszoidot, vagyis vannak közös (felületi) pontjaik legyen egy ilyen ‐, akkor ezekhez tartoznak pontok a főgömb felületén, ezeket kívánjuk megkeresni. A közös ponthoz a főgömbön tartozó pont -szer távolabb van az egyenlítősíktól, mint . A pontok halmazának megkereséséhez -nek minden pontját megnyújtjuk -szeres távolságra. Ezek egy újabb, az -től különböző síkot adnak. A főgömböt körben metszi, ezt a kört a főtengely irányában -re visszavetítve, ellipszist kapunk, és ez a keresett metszet. Nem bizonyítottuk többek között, hogy egyenes, illetve sík pontjait nyújtva egyenest, síkot kapunk, hogy körnek egy másik síkra való nem merőleges vetülete is ellipszis. ‐ Nem használtuk az "affinitás'' nevet, bár az ábrabeli szerkesztés affinitásos szerkesztés. Azonban még a síkbeli affinitás legfontosabb tulajdonságait is csupán bizonyítás nélkül ismerjük a tankönyvből, térről viszont ott szó sem volt. A síkra merőleges nyújtást viszont még a térben is könnyű elképzelni. |