Kezdőlap


Feladat:	F.1873	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/október, 58 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Hossz, kerület, Koszinusztétel alkalmazása, Szöveges feladatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: F.1873

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett $A B', A C'$ távolságokat rendre $b$ -vel, ill. $c$ -vel, a $B B'$ magasságkülönbséget $x$ -szel, továbbá az adatokat: $B' C' = a$ -val, $B C'', = h$ -val (ahol $C''$ a $C$ vetülete $B B'$ -re), $B' A B ∢ = β$ -val, $C' A C ∢ = γ$ -val, $B' A C' ∢ = α$ -val.

1. ábra

x

-szel és

β

-val kifejezhetjük

b

-t, másrészt az

A

és

C

közti

C C'

magasságkülönbség és

γ

alapján

c

-t. Ezeket az

A B' C'

háromszög

B' C'

oldalának a cosinustétel adta kifejezésébe helyettesítve, egyismeretlenes egyenletet kapunk

x

-re:

\begin{matrix} b = x ctg β, c = (x - h) ctg γ, & (1) \\ x^{2} {ctg}^{2} β + {(x - h)}^{2} {ctg}^{2} γ - 2 x (x - h) ctg β ctg γ cos α = a^{2}, \\ x^{2} ({ctg}^{2} β + {ctg}^{2} γ - 2 ctg β ctg γ cos α) - \\ - 2 x h ctg γ (ctg γ - ctg β cos α) + (h^{2} {ctg}^{2} γ - a^{2}) = 0. \end{matrix}

Számadataink közül előbb az egyszerű

2 cos α = 1

és

a = 3 h

kapcsolatokat használjuk föl és egyenletünket átalakítjuk az

x / h = ξ

arányra mint ismeretlenre, majd a

β, γ

szögek adatait is behelyettesítjük:

\begin{matrix} ξ^{2} ({ctg}^{2} β + {ctg}^{2} γ - ctg β ctg γ) & - ξ (2 {ctg}^{2} γ - ctg β ctg γ) + ({ctg}^{2} γ - 9) = 0, \\ 789, 9 ξ^{2} & - 1561, 4 ξ + 811, 0 = 0, \\ ξ^{2} & - 2, 085 ξ + 1, 083 = 0, \\ ξ & = 1, 0424 \pm 0, 0612. \end{matrix}

A feladat szerint

x > h

, ezért

ξ > 1

, és csak a nagyobbik gyök fogadható el:

ξ = 1, 104

, egyértelműen

x = 883 m

, ebből pedig (1) alapján

A B

-nek és

A C

-nek a térképen látható vetülete 2426 m, ill. 2374 m. (Lásd 2. ábra; a pontozott vonal

ξ = 0, 981

érték alapján az ellentétes irányban adódó, el nem fogadható

C_{2}'

helyzetre mutatja, hogy teljesül

B_{2}' C_{2}' = a

. Nem árt ugyanis gondolni a kizárt gyök esetleges értelmezésére.)

2. ábra

Megjegyzés. A feladatot egy mérnöki kérdésből alakította ki a szerkesztőség a számadatok kerekítésével.^{$^{*}$} ‐ Potenoth-szerkesztésen (másképpen Snellius ‐ Potenoth-feladaton) a hátrametszést szokás érteni.^{$^{*}$} A szokásos három alappont helyett itt négy szerepel:

B

B'

C'

és

C

, és két szög helyett hármat mérünk meg a meghatározandó

A

álláspontban, kettőt függőleges, egyet a vízszintes síkban.
Az idézett cikk a

B'

C'

pontoknál levő szög sinusára ír föl egymástól függetlenül másodfokú egyenleteket ‐ vagyis lényegében az

A B'

A C'

távolságokra ‐, majd a gyökök kiszámítását az akkori legfontosabb számítási segédeszköz, a logaritmustáblázat könnyebb alkalmazása céljára ‐ segédszögek bevezetésével hajtja végre.

^{$^{*}$}Gyöngyössy Zoltán: A "térbeli Potenoth''. Magyar Mérnök- és Építész Egylet Közlönye, 1914. évi 27. szám.

^{$^{*}$}Lásd ide az 1419. és 1424. gyakorlatokat is, K. M. L. 44 (1972) 172. és 220. old.