A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat megoldása során a következő összefüggéseket használjuk ki: I. ha az és esemény független, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az egyes valószínűségeik szorzatával: II. ha az és esemény kizárja egymást, akkor annak valószínűsége, hogy legalább az egyik bekövetkezik, megegyezik a két valószínűség összegével: III. ha valamely esemény bekövetkezésének valószínűsége , akkor az esemény be nem következésének valószínűsége . A feladat megoldása során még azt is feltesszük, hogy az egyes lövések egymástól független eseményeket jelentenek (akár ugyanarról, akár különböző lövőről van szó). a) A kérdéses esemény akkor nem következik be, ha a leadott öt lövés egyike sem talál. Az első lövő a céltáblát III. szerint valószínűséggel nem találja el, így ha kétszer lő, I. szerint valószínűséggel nem találja el a táblát. A második lövő valószínűséggel nem találja el a céltáblát, így annak valószínűsége, hogy a három lövésből egyik sem talál, I. szerint lesz. Annak a valószínűsége, hogy az öt lövés egyike sem talál, szintén I. szerint . Végül a feladatban kérdezett esemény valószínűsége III. szerint . b) Az előzőhöz hasonlóan annak valószínűsége, hogy az első lövő első lövése talál, a második nem, . Ugyanennyi annak a valószínűsége, hogy az első lövése nem talál, a második igen. Így II. szerint annak valószínűsége, hogy az első lövőnek pontosan egy lövése talál: Hasonló meggondolással annak a valószínűsége, hogy a második lövőnek a három lövése közül pontosan kettő talál: Így annak valószínűsége, hogy mindkét fentebbi esemény egyszerre (azaz egy összefüggő kísérletben) bekövetkezik, I. szerint | |
c) Határozzuk meg először a következő események , valószínűségeit: 1. az első lövő legalább kétszer talál, 2. a második lövő legalább kétszer talál. Az 1. esemény valószínűsége az előzőekhez hasonlóan: . A 2. esemény akkor következik be, ha a második lövő vagy pontosan kétszer vagy pontosan háromszor találja el a céltáblát, így A feladatban szereplő esemény úgy következhet be, ha az itt felírt két esemény valamelyike bekövetkezik. Osszuk ezt az együttes bekövetkezést három független részre: 1. bekövetkezik, 2. nem; 2. bekövetkezik, 1. nem; 1. is 2. is bekövetkezik. Így, felhasználva a felírt összefüggéseket, a kérdezett valószínűség | |
d) Annak a valószínűsége, hogy az első lövő egyszer eltalálja a céltáblát, a második pedig egyszer sem, . Annak valószínűsége, hogy a második egyszer talál, az első egyszer sem: Így annak valószínűsége, hogy a két esemény közül valamelyik bekövetkezik, II. szerint ezek összege: . Ezzel a megoldást befejeztük.
Megjegyzések. 1. Többen úgy értelmezték a feladat c) részét, hogy legalább egy céllövő pontosan kétszer találja el a céltáblát. Ebben az esetben a valószínűség helyébe kerül, és a végeredmény 2. A c) rész eredeti eredménye kiadódik -ból is. Az értelmezést az olvasóra hagyjuk.
|