Feladat: F.1871 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/március, 100 - 101. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Események algebrája, Valószínűségszámítás - Statisztika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/március: F.1871

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldása során a következő összefüggéseket használjuk ki:
I. ha az A és B esemény független, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az egyes valószínűségeik szorzatával:

P(AB)=P(A)⋅P(B);

II. ha az A és B esemény kizárja egymást, akkor annak valószínűsége, hogy legalább az egyik bekövetkezik, megegyezik a két valószínűség összegével:
P(A+B)=P(A)+P(B);

III. ha valamely esemény bekövetkezésének valószínűsége P, akkor az esemény be nem következésének valószínűsége (1-P).
A feladat megoldása során még azt is feltesszük, hogy az egyes lövések egymástól független eseményeket jelentenek (akár ugyanarról, akár különböző lövőről van szó).
a) A kérdéses esemény akkor nem következik be, ha a leadott öt lövés egyike sem talál. Az első lövő a céltáblát III. szerint 0,2 valószínűséggel nem találja el, így ha kétszer lő, I. szerint 0,2⋅0,2 valószínűséggel nem találja el a táblát. A második lövő 0,4 valószínűséggel nem találja el a céltáblát, így annak valószínűsége, hogy a három lövésből egyik sem talál, I. szerint 0,4⋅0,4⋅0,4 lesz. Annak a valószínűsége, hogy az öt lövés egyike sem talál, szintén I. szerint 0,22⋅0,43. Végül a feladatban kérdezett esemény valószínűsége III. szerint 1-0,22⋅0,43=0,99744.
b) Az előzőhöz hasonlóan annak valószínűsége, hogy az első lövő első lövése talál, a második nem, 0,8⋅0,2. Ugyanennyi annak a valószínűsége, hogy az első lövése nem talál, a második igen. Így II. szerint annak valószínűsége, hogy az első lövőnek pontosan egy lövése talál: 2⋅0,8⋅0,2
Hasonló meggondolással annak a valószínűsége, hogy a második lövőnek a három lövése közül pontosan kettő talál: 3⋅0,6⋅0,6⋅0,4
Így annak valószínűsége, hogy mindkét fentebbi esemény egyszerre (azaz egy összefüggő kísérletben) bekövetkezik, I. szerint
(2⋅0,8⋅0,2)⋅(3⋅0,62⋅0,4)=0,13824.

c) Határozzuk meg először a következő események p, q valószínűségeit:
 

1. az első lövő legalább kétszer talál,
2. a második lövő legalább kétszer talál.
 

Az 1. esemény p valószínűsége az előzőekhez hasonlóan: p=0,82.
A 2. esemény akkor következik be, ha a második lövő vagy pontosan kétszer vagy pontosan háromszor találja el a céltáblát, így
q=3⋅0,62⋅0,4+0,63.

A feladatban szereplő esemény úgy következhet be, ha az itt felírt két esemény valamelyike bekövetkezik. Osszuk ezt az együttes bekövetkezést három független részre:
1. bekövetkezik, 2. nem;
2. bekövetkezik, 1. nem;
1. is 2. is bekövetkezik.
 

Így, felhasználva a felírt összefüggéseket, a kérdezett valószínűség
p(1-q)+q(1-p)+pq=p+q-pq=0,87328.

d) Annak a valószínűsége, hogy az első lövő egyszer eltalálja a céltáblát, a második pedig egyszer sem, 2⋅0,8⋅0,2⋅0,43.
Annak valószínűsége, hogy a második egyszer talál, az első egyszer sem:
0,22⋅3⋅0,42⋅0,6.

Így annak valószínűsége, hogy a két esemény közül valamelyik bekövetkezik, II. szerint ezek összege: 0,032.
Ezzel a megoldást befejeztük.
 

Megjegyzések. 1. Többen úgy értelmezték a feladat c) részét, hogy legalább egy céllövő pontosan kétszer találja el a céltáblát. Ebben az esetben a q valószínűség helyébe 3⋅0,62⋅0,4 kerül, és a végeredmény
p+q-pq=0,79552.

2. A c) rész eredeti eredménye kiadódik 1-(1-p)(1-q)-ból is. Az értelmezést az olvasóra hagyjuk.