A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A megoldáshoz felhasználjuk Surányi János Polinomok és végtelen polinomok c. cikkét (K. M. L. 45. kötet, 109‐117., valamint 193-203. oldalak). Legyen a sorozat képezési szabálya valamint legyen adva a sorozat első három, , , tagja. A cikkben leírt módszerhez hasonlóan tekintsük a következő végtelen polinomot: | | (3) | A (2) rekurzív összefüggést szorozzuk meg -nal és -re adjuk össze:
azaz (3)-at figyelembe véve kapjuk, hogy | | ahonnan | | vagyis | | (4) | Ezt a két összefüggést alkalmazzuk a feladatban szereplő sorozatokra. Az a) esetben , és , így
A cikkben láttuk, hogy | | így tehát ennek -szerese: | | vagyis (3) szerint .
A b) esetben , , , , így | |
Szintén a cikkben láttuk, hogy | | (5) | azaz ebben az esetben , minden -re. Végül a c) esetben , , , így | | (5) segítségével először az -t alakítjuk végtelen polinommá úgy, hogy (5)-ben helyébe -t írunk: | | (6) |
Nézzük meg, hogy -es tagot miképpen kapunk. Az kifejtésében csupa -val egyező párosságú kitevőt találunk, mégpedig az tagot a együtthatóval. Így az -ben az hatvány együtthatóval, az tagban együtthatóval szerepel, így együtthatója | | (7) | Ha a (6) végtelen polinomot megszorozzuk -tel, akkor az így kapott polinomban együtthatója megegyezik a (6) polinomban és együtthatójának összegével, azaz (7) szerint (mindjárt átrendezve)
Mivel így éppen a megfelelő polinom együtthatóit kaptuk, azért | | (8) |
Megjegyzések. 1. A (8) alatt kapott összeg nyilván véges, hiszen ha , akkor a binomiális együttható értéke , és ha egy binomiális együttható értéke , akkor az összes utána következő értéke is lesz. Az utolsó nem-nulla binomiális együttható éppen 2. A feladat a), illetve b) részét a kezdő tagok és a rekurzió egyszerűsége miatt könnyebben is meg lehet oldani, de itt a célunk a cikkben szereplő módszer alkalmazása volt. Természetesen más (pl. teljes indukcióval való) megoldást is elfogadtunk. |