Kezdőlap


Feladat:	F.1870	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/május, 195 - 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Konvergens sorok, Polinomok, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: F.1870

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldáshoz felhasználjuk Surányi János Polinomok és végtelen polinomok c. cikkét (K. M. L. 45. kötet, 109‐117., valamint 193-203. oldalak). Legyen a sorozat képezési szabálya

\begin{matrix} u_{n + 3} = α u_{n + 2} + β u_{n + 1} + γ u_{n} \end{matrix}

(2)

valamint legyen adva a sorozat első három,

u_{0}

u_{1}

u_{2}

tagja. A cikkben leírt módszerhez hasonlóan tekintsük a következő végtelen polinomot:

\begin{matrix} U = u_{0} + u_{1} x - u_{2} x^{2} + ... + u_{n} x^{n} + ... \end{matrix}

(3)

A (2) rekurzív összefüggést szorozzuk meg

x^{n + 3}

-nal és

n = 0, 1, 2, ...

-re adjuk össze:

\begin{matrix} u_{3} x^{3} + u_{4} x^{4} + ... = α x (u_{2} x^{2} + u_{3} x^{3} + ...) + β x^{2} (u_{1} x + u_{2} x^{2} + ...) + \\ + γ x^{3} (u_{0} + u_{1} x + u_{2} x^{2} + ...), \end{matrix}

azaz (3)-at figyelembe véve kapjuk, hogy

\begin{matrix} U - (u_{0} + u_{1} x + u_{2} x^{2}) = α x [U - (u_{0} + u_{1} x)] + β x^{2} (U - u_{0}) + γ x^{3} U, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} U (1 - α x - β x^{2} - γ x^{3}) = (u_{0} + u_{1} x + u_{2} x^{2}) - α x (u_{0} + u_{1} x) - β x^{2} u_{0}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} U = \frac{u_{0} + (u_{1} - α u_{0}) x + (u_{2} - α u_{1} - β u_{0}) x^{2}}{1 - α x - β x^{2} - γ x^{3}} . \end{matrix}

(4)

Ezt a két összefüggést alkalmazzuk a feladatban szereplő sorozatokra. Az a) esetben

α = 1

β = 1

és

γ = 1

, így

\begin{matrix} U & = \frac{0 + (1 - 0) x + (2 - 1 - 0) x^{2}}{1 - x - x^{2} + x^{3}} = \frac{x + x^{2}}{1 - x - x^{2} + x^{3}} = \frac{x (1 + x)}{{(1 - x)}^{2} (1 + x)} = \\ = \frac{x}{{(1 - x)}^{2}} . \end{matrix}

A cikkben láttuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + (n + 1) x^{n} + ..., \end{matrix}

így tehát

U

ennek

x

-szerese:

\begin{matrix} U = 0 + x + 2 x^{2} + 3 x^{3} + ... + n x^{n} + ... \end{matrix}

vagyis (3) szerint

u_{n} = n

A b) esetben

α = 1

β = - 1

γ = 1

v_{0} = v_{1} = v_{2} = 1

, így

\begin{matrix} U = \frac{1 + (1 - 1) x + (1 - 1 + 1) x^{2}}{1 - x + x^{2} - x^{3}} = \frac{1 + x^{2}}{(1 - x) (1 + x^{2})} = \frac{1}{1 - x} . \end{matrix}

Szintén a cikkben láttuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n} + ..., \end{matrix}

(5)

azaz ebben az esetben

v_{n} = 1

, minden

n

-re.
Végül a c) esetben

α = 1

β = 0

γ = 1

, így

\begin{matrix} U = \frac{1 + (1 - 1) x + (2 - 1) x^{2}}{1 - x - x^{3} |} = \frac{1 + x^{2}}{1 - (x + x^{3})} . \end{matrix}

(5) segítségével először az

1 / (1 - x - x^{3})

-t alakítjuk végtelen polinommá úgy, hogy (5)-ben

x

helyébe

(x + x^{3})

-t írunk:

\begin{matrix} \frac{1}{1 - (x + x^{3})} = 1 + (x + x^{3}) + {(x + x^{3})}^{2} + ... + {(x + x^{3})}^{n} + ... \end{matrix}

(6)

Nézzük meg, hogy

x^{n}

-es tagot miképpen kapunk. Az

{(x + x^{3})}^{k} = x^{k} {(1 + x^{2})}^{k}

kifejtésében csupa

k

-val egyező párosságú kitevőt találunk, mégpedig az

x^{k + 2 t}

tagot a

(\binom{k}{i})

együtthatóval. Így az

{(x + x^{3})}^{n}

-ben az

x^{n}

hatvány

1 = (\binom{n}{0})

együtthatóval, az

{(x + x^{3})}^{n - 2}

tagban

(\binom{n - 2}{1})

együtthatóval szerepel, így

x^{n}

együtthatója

\begin{matrix} (\binom{n}{0}) + (\binom{n - 2}{1}) + ... + (\binom{n - 2 i}{1}) + ... \end{matrix}

(7)

Ha a (6) végtelen polinomot megszorozzuk

(1 + x^{2})

-tel, akkor az így kapott polinomban

x^{n}

együtthatója megegyezik a (6) polinomban

x^{n}

és

x^{n - 2}

együtthatójának összegével, azaz (7) szerint (mindjárt átrendezve)

\begin{matrix} (\binom{n}{0}) + [(\binom{n - 2}{0}) & + (\binom{n - 2}{1})] + [(\binom{n - 4}{1}) + (\binom{n - 4}{2})] + ... + [(\binom{n - 2 i}{i - 1}) + (\binom{n - 2 i}{i})] + ... = \\ = (\binom{n + 1}{0}) + (\binom{n - 1}{1}) + (\binom{n - 3}{2}) + ... + (\binom{n + 1 - 2 i}{i}) + ... \end{matrix}

Mivel így éppen a megfelelő

U

polinom együtthatóit kaptuk, azért

\begin{matrix} w_{n} = (\binom{n + 1}{0}) + (\binom{n - 1}{1}) + ... + (\binom{n + 1 - 2 i}{i}) + ... \end{matrix}

(8)

Megjegyzések. 1. A (8) alatt kapott összeg nyilván véges, hiszen ha

n + 1 - 2 i < i

, akkor a binomiális együttható értéke

0

, és ha egy binomiális együttható értéke

0

, akkor az összes utána következő értéke is

0

lesz. Az utolsó nem-nulla binomiális együttható éppen

\begin{matrix} (\binom{n - 2 [\frac{n + 1}{3}] + 1}{[\binom{n + 1}{3}]}) \end{matrix}

2. A feladat a), illetve b) részét a kezdő tagok és a rekurzió egyszerűsége miatt könnyebben is meg lehet oldani, de itt a célunk a cikkben szereplő módszer alkalmazása volt. Természetesen más (pl. teljes indukcióval való) megoldást is elfogadtunk.