Kezdőlap


Feladat:	F.1868	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/szeptember, 8 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térfogat, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: F.1868

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az elsőnek vett, kockacsúcs körüli gömb akkora térfogatú részt mar ki a kockából, mint a maga térfogatának $1 / 8$ része, egyrészt mert a csúcson átmenő kockalapsíkok mindegyike megfelezi a gömböt, a $3$ sík együtt pedig $2^{3} = 8$ egybevágó részre osztja, másrészt mert a gömb sugara kisebb a kocka élénél.

1. ábra

Második gömbünk középpontjának az előbbivel szomszédos

3

csúcs valamelyikét véve, ez a gömb már belenyúlik az elsőbe, mert sugaraik

2 r

összege nagyobb a kocka élénél, hiszen

\sqrt[]{5} / 2 > 1

. E két gömb közös része lencse alakú test, és ennek

1 / 4

része tartozik bele a kockába, mert az élt alkotó két lapsík a teret

4

egybevágó lapszögtartományra osztja.
A kocka két távolabbi csúcsa (egy lapbeli, ill. térbeli átló végpontjai) körüli gömbök nem nyúlnak egymásba, mert

2 r

kisebb már az

a \sqrt[]{2}

lapbeli átlónál is.
Eszerint ha a kocka térfogatából elvesszük a nyolcadgömb térfogatának

8

-szorosát, akkor mind a

12

élnél levő lencsenegyed térfogatát

2

-szer vontuk le, ezért

1

-szer vissza kell adnunk. Együttes térfogatuk egyenlő

3

egész lencse térfogatával, azaz

6

fél lencse térfogatával, megjegyezve, hogy fél lencsén itt már azt a gömbszeletet értjük, amely a lencséből a gömbközéppontok közti él felező merőleges síkjának egyik-egyik oldalára esik, vagyis amit ez a sík metsz le egy gömbünkből.
A szelet magassága

\begin{matrix} m = (r - a / 2) = a (\sqrt[]{5} - 2) / 4, \end{matrix}

így térfogata az ismert képlet ^{$^{*}$} szerint

\begin{matrix} V_{s z} = \frac{π}{3} m^{2} (3 r - m) = \frac{π a^{3}}{96} (5 \sqrt[]{5} - 11), \end{matrix}

tehát a maradéktest térfogata

\begin{matrix} V_{m} = a^{3} - \frac{4 π}{3} r^{3} + 6 V_{s z} = a^{3} (1 - \frac{π}{48} (33 - 10 \sqrt[]{5})) = a^{3} \cdot 0, 304. \end{matrix}

Megjegyzés. Vázoljuk egy másik megoldás gondolatmenetét. Vágjuk ketté a kockát és a maradéktestet a kockának az élekre merőleges felezősíkjaival. A

3

ilyen szimmetriasík

2^{3} = 8

részre darabolja a kockát és a maradéktestet, mindegyik kiskocka tartalmazza az eredeti kocka egy csúcsát, a maradéktest részei egybevágók és mindegyiknek a határfelületében csak egy gömbnek szerepel felületi része. Toljuk át a kocka mindegyik testátlójával átjárt két-két részt egymás helyére. Így a kocka eredeti

8

csúcsa az eredeti kockaközéppont helyére jut, és a maradéktestet határoló gömbfelületi részek egyetlen gömb felületének részeivé állnak össze (2. ábra).

2. ábra

Másrészt a

8

résznek az eredeti kockaközéppontban keletkezett csúcsai kitolódnak az eredeti kockacsúcsok helyére. Kockát látunk tehát, ennek a belseje hiányzik, és lapjain

a / 4

sugarú kör alakú lyukak adódtak. A gömbből

6

gömbszelet esik az új kocka lapjain túlra (a fentebbi fél-lencsék), ezekben a ,,gömbi marógép'' nem talál anyagot, tehát az eltávolított anyag térfogata

V_{gömb} - 6 V_{szeIet}

, a maradéktesté pedig

V_{kocka} - V_{gömb} + 6 V_{szelet}

^{$^{*}$}Az iskolai függvénytáblázatok 344.2. számú képlete.