Kezdőlap


Feladat:	F.1866	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Hasenfratz Anna , Szecsői Sándor
Füzet:	1973/november, 128 - 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eltolás, Derékszögű háromszögek geometriája, Középvonal, Hossz, kerület, Paralelogrammák, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: F.1866

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Jelöljük a $B C, D A, A A_{0}, D C_{0}$ szakaszok felezőpontját rendre $B_{0}$ -lal, $D_{0}$ -lal, $A_{1}$ -gyel, $C_{1}$ -gyel. A kívánt számítást arra az eljárásra alapítjuk, ahogyan négyszögünket az oldalak és az $A_{0} C_{0}$ középvonal előírt méreteiből megszerkesztenénk. ^{$^{*}$}
Toljuk el a $D A$ vektort a $B P$ és $C Q$ helyzetekbe, valamint a $D C$ vektort a $B R$ helyzetbe (1. ábra).

1. ábra

Ekkor

A D B P

paralelogramma, s mivel

A_{0}

felezi ennek

A B

átlóját, azért felezi

D P

-t is. Így

A_{0} C_{0}

C P D

háromszögnek

C P

-vel párhuzamos középvonala, tehát

C P = 2 \cdot A_{0} C_{0} = 2 e

. Ezért a

P B C

háromszög megszerkeszthető ismert oldalaiból. Ezt a háromszöget a

Q

pont paralelogrammává egészíti ki mint

B

-vel szemben levő csúcs. Továbbá

A D C Q

is paralelogramma,

Q A = C D = c

, tehát

A

kijelölhető a

B

-től és

Q

-tól való, ismert távolságaiból, végül

D

paralelogrammává egészíti ki az

A Q C

háromszöget, ezzel a szerkesztést befejeztük.
2. Az előírt számításban a fentieken túl még azt használjuk fel, hogy

B D C R

paralelogramma, tehát

D R

átlója átmegy

B C

-nek

B_{0}

felezőpontján és

D R =

= 2 \cdot D B_{0}

, ennélfogva

D_{0} B_{0}

‐ mint az

R A D

háromszög

R A

-val párhuzamos középvonala ‐ fele

R A

-nak, végül hogy

R A

A B R Q

paralelogrammának is átlója.
A Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával adódik, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő a négy oldalának négyzetösszegével, ennek alapján

\begin{matrix} B Q^{2} = 2 (B C^{2} + B P^{2}) - C P^{2} = 2 b^{2} + 2 d^{2} - 4 e^{2}, \\ B_{0} D_{0}^{2} = \frac{A R^{2}}{4} = \frac{1}{4} {2 (B A^{2} + B R^{2}) - B Q^{2}} = e^{2} + \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2} + d^{2}}{2} . & (1) \end{matrix}

Számadatainkkal

B_{0} D_{0} = f = \sqrt[]{259} = 16, 1

egység (a számadatok és a közbülső

B Q

érték eleget tesznek a

B C P

és

B Q A

háromszögek szerkeszthetőségéhez megkívánt egyenlőtlenségeknek).
3. Továbbhaladás előtt (1) eredményünket megjegyzésre alkalmasabb, szimmetrikus alakba öntjük:

\begin{matrix} f^{2} - \frac{a^{2} + c^{2}}{2} = e^{2} - \frac{b^{2} + d^{2}}{2} . \end{matrix}

A szemléletet segítő 2. ábrán azt is feltüntettük, hogy az

e

f

középvonalak felezik egymást, hiszen ‐ mint ismeretes ‐ végpontjaik egy paralelogramma csúcsai.

2. ábra

4. Mindezek szerint a második kérdés az elsőtől csak számadatokban különbözik: az

A D C_{0} A_{0}

négyszög egymás utáni oldalai

d

\frac{c}{2}

e

\frac{a}{2}

és a

d, e

oldalak felezőpontjai közti középvonal

D_{0} E = \frac{D_{0} B_{0}}{2} = \sqrt[]{64, 75}

, és kiszámítandó a másik középvonal. (1)-et értelemszerűen alkalmazva:

\begin{matrix} A_{1} C_{1}^{2} = D_{0} E^{2} + \frac{A D^{2} + A_{0} C_{0}^{2}}{2} - \frac{A A_{0}^{2} + D C_{0}^{2}}{2} = 82, 75, A_{1} C_{1} = 9, 1 egység . \end{matrix}

Hasenfratz Anna (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Szecsői Sándor (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd: Horvay‐Pálmay: Matematika a gimn. ... I. o. számára, 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969, 338. o. 24. d/feladat.