Kezdőlap


Feladat:	F.1863	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Mayer Zsuzsa , Vladár Károly
Füzet:	1973/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: F.1863

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előzetes megjegyzés. A kérdést természetesen csak arra az esetre vizsgálhatjuk, ha a logaritmusok értelmezve vannak, más szóval
az adott logaritmusok alapszámára teljesül $x > 0$ , $x \neq 1$ , ill. $y > 0$ , $y \neq 1$ ;
a keresett logaritmus alapszámára ezen felül teljesül $x y \neq 1$
a kérdéses $z$ számra is $z > 0$ ; továbbá $z \neq 1$ , hiszen $z = 1$ esetén adatok nélkül is tudjuk, hogy $0$ az eredmény.

I. megoldás. Az alapszám megváltoztatására vonatkozó logaritmusazonosságok közül elég felhasználni a ,,fölcserélési tételt'':

\begin{matrix} log_{b} a = \frac{log_{a} a}{log_{a} b} = \frac{1}{log_{a} b} . \end{matrix}

Eszerint és más azonosságokkal:

\begin{matrix} log_{x y} z = \frac{1}{log_{z} x y} = \frac{1}{log_{z} x + log_{z} y} = \frac{1}{\frac{1}{log_{x} z} + \frac{1}{log_{y} z}} = \frac{(log_{x} z) \cdot (log_{y} z)}{log_{x} z + log_{y} z} . \end{matrix}

Az előrebocsátottak értelmében a végzett alakítások megengedettek.
Érdemes megemlíteni néhány speciális esetet.
I. ha

x = y

, akkor

\begin{matrix} log_{x^{2}} z = \frac{1}{2} log_{x} z; \end{matrix}

II. ha

x = z

, akkor

\begin{matrix} log_{x y} x = \frac{log_{y} x}{1 + log_{y} x}; \end{matrix}

III. ha

x = 1 / z

, akkor

\begin{matrix} log_{x y} \frac{1}{x} = - \frac{log_{y} z}{- 1 + log_{y} z} = \frac{log_{y} z}{1 - log_{y} z} \end{matrix}

(megjegyezve, hogy

x y \neq 1

folytán

y \neq z

, a nevező tehát

\neq 0

Mayer Zsuzsa (Pécs, Széehenyi I. Gimn., III. o. t.)

Vladár Károly (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Akik nem idegenkednek a törtektől, nem legsürgősebb dolguk a törtek lehető ,,eltávolítása'', azok számára így egyszerűbb a fenti eredmény:

\begin{matrix} \frac{1}{log_{x y} z} = \frac{1}{log_{x} z} + \frac{1}{log_{y} z} . \end{matrix}

2. A logaritmus jól begyakorolt azonosságai helyett célhoz érünk a logaritmus definíciójával is, és így fölelevenedik, hogy a logaritmusazonosságok a definíció alapján csupán más alakjai a hatványazonosságoknak.

II. megoldás. Vezessünk be rövid jelöléseket az adatokra és az ismeretlenre:

\begin{matrix} log_{x} z = a, log_{y} z = b, log_{x y} z = c . \end{matrix}

Így a logaritmus definíciója szerint:

\begin{matrix} z = x^{a} = y^{b} = x y^{c}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = z^{\frac{1}{a}}, y = z^{\frac{1}{b}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} z = {(z^{\frac{1}{a}} \cdot z^{\frac{1}{b}})}^{c} = z^{c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} (\neq 1), \end{matrix}

innen pedig a kitevőket egybevetve

\begin{matrix} 1 = c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{c (a + b)}{a b}, c = \frac{a b}{a + b}, \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} . \end{matrix}