Feladat: F.1860 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fürst András 
Füzet: 1973/október, 53 - 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/január: F.1860

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szóban forgó négyszög csúcsait A, B, C, D betűvel úgy, hogy AB=a, BC=b, CD=c, DA=d legyen. A konvexség alapján az AC átló a négyszög belsejében halad, így

2t=2t1+2t2,
ahol t1 az ACB háromszög területe, t2 pedig az ACD-é. Mármost
2t1≤ab,2t2≤cd,
és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha az a és b, illetve c és d oldal merőlegesen áll egymásra. Ezzel beláttuk I. helyességét. (Itt a konvexségből csak azt használtuk föl, hogy B és D az AC-nek két oldalán van, vagyis ez áll az I.-ben összeszorzott a, b és. c, d oldalpárokra is.)
 

 

Mármost ha I.-ben az egyenlőség érvényes, akkor B-nél is, D-nél is derékszög van, ezért B és D az AC átló mint átmérő fölötti Thalész-körön vannak, tehát négyszögünk húrnégyszög.
A II. állítás csak abban tér el az I.-től, hogy benne ‐ amahhoz képest ‐ b és c fel van cserélve. Ezt visszavezethetjük az I.-re. Vegyük C-nek C' tükörképét a BD átló m felező merőlegesére, ekkor az ABC'D=N' négyszög egymás utáni oldalai a, c, b, d, és területe is t, hiszen CC'||BD, tehát a BDC és BDC' háromszögek egyenlő területűek, és t-t bármelyikükből a BDA háromszög területének hozzáadásával kapjuk, mert C a BD-nek A-t nem tartalmazó partján van a konvexség folytán, és ugyanott van C' is. Így I.-ből következik a II. állítás. (Megjegyezzük, hogy az ABC'D-ről nem tudjuk, hogy konvex, az AC' átló haladhat kívül is, itt viszont, csak az volt a lényeges, hogy BD a belsejében halad.)
És ha azt tudjuk, hogy a II. állításban érvényes az egyenlőség jele, akkor az iméntihez hasonlóan A, B, C' és D ebben a sorrendben egy kör kerületén vannak, és ezen C is rajta van mint C'-nek tükörképe a BD húr felező merőlegesére, ez ugyanis átmérő. ‐ Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

 Fürst András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladat természetesen nem azt állítja, hogy húrnégyszögben ab+cd és ac+bd mindegyike megadná a terület 2-szeresét; csak azt, hogy ha a húrnégyszögben két szög derékszög, akkor a szemben fekvő derékszögeket bezáró oldalakból képezett szorzatok összege 2t. Mindkét képlet csak akkor helyes, ha a fenti C' azonos C-vel, azaz b=c és ekkor persze a=d is fennáll, vagyis ha a négyszög húrdeltoid. (Ekkor viszont nem érdemes beszélni két képletről.)