Feladat:	F.1858	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1973/október, 52 - 53. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/január: F.1858

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\cdot 2+3\mathrm{,}4\cdot 5+6\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\left(3k-2\right)\left(3k-1\right)+3k\mathrm{,}\text{...}}\end{array}$ (1) Az állítás a sorozatnak minden egyes tagjára érvényes, vagyis az egytényezős szorzatokra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(3k-2\right)\left(3k-1\right)+3k=9k^2-6k+2={\left(3k-1\right)}^2+1^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Erre tekintettel először azt bizonyítjuk általában, hogy két kéttagú négyzetösszeg szorzata írható kéttagú négyzetösszeg alakjában. Valóban: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right)=a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2\pm 2a\alpha b\beta +a^2{\beta }^2+b^2{\alpha }^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(a\alpha +b\beta \right)}^2+{\left(a\beta -b\alpha \right)}^2\mathrm{,}}& \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle {\left(a\alpha -b\beta \right)}^2+{\left(a\beta +b\alpha \right)}^2\mathrm{,}}\end{array}}}\hfill \end{array}}$ vagyis a kívánt előállítás általában 2-féleképpen is lehetséges. Ehhez sorozatunk esetében már csak két dolgot kell hozzátennünk: Mivel $a\mathrm{,}b\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}\beta$ szerepére egész számokat gondolunk, azért a (3) eredmények mindnégy zárójeles kifejezése egész szám. Mivel $A\cdot B\cdot C=\left(A\cdot B\right)\cdot C$, azért megállapításunk a sorozat akárhány elemének szorzatára érvényes.   Megjegyzések. 1. Mivel a 0 is egész szám, azért gondolhatunk arra is, hogy a szóban forgó szorzat esetleg maga egy négyzetszám. Ez adódik mindjárt, ha a sorozat egy elemét önmagával szorozzuk, amit a feladat nem zár ki. Megmutatjuk ezért, hogy ha az (1) sorozat két különböző elemét szorozzuk össze, akkor a (2)-re támaszkodó (3) előállítások alapjai közt nincs 0. A (2) előállítás szerint számaink $a^2+1$ alakúak, ezért $b=\beta =1$ esetére (3) így alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a^2+1\right)\left({\alpha }^2+1\right)={\left(a\alpha +1\right)}^2+{\left(a-\alpha \right)}^2={\left(a\alpha -1\right)}^2+{\left(a+\alpha \right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ámde különböző elemeket véve $a-\alpha \ne 0$ és $a\alpha -1\ne 0$ (hiszen elég nem negatív számokra gondolni $a\mathrm{,}b\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}\beta$ szerepében). 2. A (3) alatti két előállításból tulajdonképpen elég lenne csak az egyiket felírni, hiszen $\alpha$ és $\beta$ fölcserélésével (vagy $a$ és $b$ cseréjével) egymásba mennek át, ami viszont a bal oldalt nem változtatja meg. Csak az emberi figyelem természetére gondolva írtuk ki: a tetszetős azonosság szemlélete közben megfeledkezünk, hogy a bal oldal tényezőire alkalmazható a kommutatív törvény. Az egyezően kiejtett latin és görög betűk nem hoznak létre megfeleltetést a két négyzetösszeg tagjai között. 3. Vannak az (1) sorozatnak olyan elemei, amelyek (2)-től különböző módon is írhatók négyzet összegként: $7\cdot 8+9=65=8^2+1^2=7^2+4^2$, $16\cdot 17+18=290={17}^2+1^2={13}^2+{11}^2$, az utóbbi alakokra természetesen nem érvényes előbbi állításunk. Ezek magyarázata a $65=5\cdot 13$ és $290=2\cdot 145$ előállítás, ahol 13, 2 és 145 nem tagjai sorozatunknak, de $13=3^2+2^2\mathrm{,2}=1^2+1^2$, $145={12}^2+1$, és így (3) alkalmazható, sőt fennáll $145=5\cdot 29=\left(2^2+1^2\right)\left(5^2+2^2\right)$ is. Az érdeklődők számos további érdekességet találhatnak. 4. A sorozatunk elemeiből képzett szorzatok kéttagú négyzetösszeg felbontásainak számára a fentiek szerint az sejthető, hogy legalább $2^{n-1}$, ahol $n$ az összeszorzott elemek száma. Ajánljuk az érdeklődőknek megvizsgálásra pl. az $5\cdot 26\cdot 65$ szorzatot.