Feladat:	F.1853	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1974/november, 121 - 123. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Egyenes, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: F.1853

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle p{x}^2+q{y}^2+rx+sy+t=0}\end{array}$ (1) Tegyük fel, hogy az (1) egyenletet két egymást metsző egyenes pontjai ‐ és csak ezek ‐ elégítik ki. Legyenek a két egyenes $M$ metszéspontjának a koordinátái $M\left(u;v\right)$, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle p{u}^2+q{v}^2+ru+sv+t=0.}\end{array}$ (2) Ha a $P\left(x;y\right)$ koordinátákra teljesül (1), akkor a $\begin{array}{c}{\displaystyle \xi =x-u\mathrm{,}\eta =y-v}\end{array}$ (3) koordinátákra $\begin{array}{c}{\displaystyle p{\left(\xi +u\right)}^2+q{\left(\eta +v\right)}^2+r\left(\xi +u\right)+s\left(\eta +v\right)+t=0}\end{array}$ teljesül, ami (2) alapján ekvivalens a $\begin{array}{c}{\displaystyle p{\xi }^2+q{\eta }^2+r_0\xi +s_0\eta =0}\end{array}$ (4) egyenlettel, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle r_0=2pu+r\mathrm{,}{s}_0=2qv+s\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Megfordítva: ha $\left(\xi ;\eta \right)$-ra teljesül (4), akkor a $\left(\xi ;\eta \right)$-hoz (3) alapján hozzárendelt $\left(x;y\right)$-ra teljesül (1). Mivel $P$-vel együtt az $MP$ egyenes minden pontja kielégíti az (1) egyenletet, ha $\left(x;y\right)$-ra teljesül (1), akkor tetszőleges $t$ mellett az $\begin{array}{c}{\displaystyle x_t=u+t\left(x-u\right);y_t=v+t\left(y-v\right)}\end{array}$ koordinátákra is teljesül (1). A fenti átfogalmazás szerint ez azt jelenti, hogy ha $\left(\xi ;\eta \right)$-ra teljesül (4), akkor $\left(t\xi ;t\eta \right)$-ra teljesül az, vagyis (4) maga után vonja a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p{\xi }^2+q{\eta }^2\right)t^2+\left(r_0\xi +s_0\eta \right)t=0}\end{array}$ teljesülését is. Viszont (4)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p{\xi }^2+q{\eta }^2\right)t^2+\left(r_0\xi +s_0\eta \right)t^2=0.}\end{array}$ A két egyenletet összevetve: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_0\xi +s_0\eta =0.}\end{array}$ (6) Ezek szerint valamely $\left(\xi ;\eta \right)$ párra csak úgy teljesülhet (4), ha erre a párra (6) is teljesül. Visszatérve (3) segítségével az $\left(x;y\right)$ koordinátákra, (6)-ból a $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{0}x+s_{0}y=r_{0}u+s_{0}v}\end{array}$ (7) egyenletet kapjuk. Ha $r_0$, $s_0$ valamelyike nem volna $0$, akkor (7)-et csak egy egyenes pontjai elégítenék ki, és csak ezek a pontok elégíthetnék ki (1)-et ‐ ami feltevésünk szerint nem lehet. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle r_0=s_0=\mathrm{0,}}\end{array}$ (8) miatt (4) a következő egyenlettel azonos $\begin{array}{c}{\displaystyle p{\xi }^2+q{\eta }^2=0.}\end{array}$ (9) Ha itt $p=q=0$ volna, (9)-et tetszőleges $\left(\xi ;\eta \right)$, és (1)-et tetszőleges $\left(x;y\right)$ kielégítené. Ha (9)-ben $p=0$, $q\ne 0$ volna, (9)-et csak az $\eta =0$, és (1)-et csak az $y=v$ egyenes pontjai elégítenék ki. Hasonlóan kapjuk, hogy $p\ne 0$, $q=0$ sem lehet, tehát $pq\ne 0$. Az sem lehet, hogy $p$ és $q$ előjele megegyezzen, hiszen ekkor (9)-et csak $\xi =\eta =0$, és (1)-et csak $x=u$, $y=v$ elégíthetné ki. Tehát (1) csak akkor lehet két metsző egyenes egyenlete, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle pq<0.}\end{array}$ (10) Ekkor (8) és (5) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle u=-\frac{r}{2p}\mathrm{,}v=-\frac{s}{2q}\mathrm{,}}\end{array}$ (11) tehát (2) szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 4t=\frac{r^2}{p}+\frac{s^2}{q}\mathrm{.}}\end{array}$ (12) Ezzel beláttuk, hogy (10) és (12) szükséges feltétele annak, hogy az (1) egyenletet két egymást metsző egyenes pontjai ‐ és csak ezek ‐ elégítsék ki. Ha a $p$, $q$, $r$, $s$, $t$ paraméterekre teljesül (10) és (12), akkor (1) ekvivalens a $\begin{array}{c}{\displaystyle p{\left(x-u\right)}^2+q{\left(y-v\right)}^2=0}\end{array}$ (13) egyenlettel, ahol $u$-t és $v$-t (11) határozza meg. Legyen $\sqrt[]{-\frac{q}{p}}=\lambda$, akkor (13) ekvivalens az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\left(x-u\right)+\lambda \left(y-v\right)\right]\left[\left(x-u\right)-\lambda \left(y-v\right)\right]=0}\end{array}$ egyenlettel, amit viszont az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x-u\right)+\lambda \left(y-v\right)=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>14</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(x-u\right)-\lambda \left(y-v\right)=0}\hfill & \text{(<mn>15</mn>)}\end{array}}$ egyenesek pontjai ‐ és csak ezek ‐ elégítenek ki. Mivel $\lambda \ne 0$, a (14) és (15) egyenletek különböző egyeneseket határoznak meg, amelyeknek $\left(u;v\right)$ közös pontja, vagyis (14) és (15) egymást metsző egyenesek egyenletei. A (10) és (12) feltételek teljesülése esetén tehát (1) egymást metsző egyenespár egyenlete, ezzel beláttuk, hogy a keresett szükséges és elégséges feltétel a (10) és (12) teljesülése.