Kezdőlap


Feladat:	F.1852	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hargitai Bálint , Linnert László , Veres Sándor
Füzet:	1973/október, 50 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Variációk, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: F.1852

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $n$ egymás után született gyermeknek pusztán a nemük szerinti fölsorolása $f$ (fiú) és $l$ (leány) jelekkel $2^{n}$ -féle lehet ( $n$ -ed osztályú ismétléses variációk 2-féle elemből). A feladat zárójelbe tett megállapodása egyenértékű azzal, hogy a $2^{n}$ lehetséges fölsorolás mindegyike egyformán valószínű.
A kérdésünk szempontjából kedvező fölsorolások mindegyikében megkeressük a legidősebb (vagyis az első) olyan gyermeket, akinek van bátyja is, nénje is, öccse is és húga is, és a fölsorolásokat ennek a legidősebb gyermeknek a születés időrendjében kapott $i$ sorszáma szerint összefogjuk egy-egy osztályba. Nyilvánvalóan így minden kedvező fölsorolás egy és csak egy osztályba tartozik majd bele; $i$ -t az illető osztály indexének nevezzük, értékére áll $3 \leq i \leq n - 2$ .
Az a tény, hogy az $i$ sorszámú gyermek az első megfelelő, egyrészt azt jelenti, hogy a korábban született $(i - 1)$ gyermek között van fiú is, lány is, de az öt közvetlenül megelőző $(i - 1)$ sorszámú gyermek előtti $(i - 2)$ testvér közt már vagy fiú nincs, vagy lány nincs. Ez az $(i - 2)$ tagú együttes tehát csupa egyneműből áll. Jelöljük az együttest röviden $f^{(i - 2)}$ -vel, ill. $l^{(i - 2)}$ -vel, így az első $i$ gyermek fölsorolása csak a következő 4 lehetőség valamelyike lehet:

\begin{matrix} f^{(i - 2)}, l, f; l^{(i - 2)}, f, f; f^{(i - 2)}, l, l; l^{(i - 2)}, f, l . \end{matrix}

(1)

Másrészt az jellemzi az

i

indexű osztályt, hogy minden egyes fölsorolásában az

(n - i)

számú további (fiatalabb) testvér nem mind egynemű. Így az utóbbiak fölsorolása

m = 2^{n - i} - 2

különböző félének adódhat, hiszen csak a "csupa fiú'' és a "csupa leány'' sorrendek vannak kizárva a gondolható

2^{n - i}

ismétléses variáció közül. Az

m

-féle befejezés mindegyike az (1) alatti kezdések mindegyikéhez hozzákapcsolható, tehát az

i

indexű osztályba

\begin{matrix} 4 m = 4 (2^{n - i} - 2) = 2^{n + 2 - i} - 8 \end{matrix}

számú felsorolás tartozik.
Ezt a kifejezést az

i = 3, 4, 5, ..., n - 2

értékekre összegezve a kedvező felsorolások (családok) száma

\begin{matrix} \sum_{i = 3}^{n - 2} (2^{n + 2 - i} - 8) = (2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ... + 2^{4}) - 8 (n - 4) = 2^{n} + 16 - 8 n, \end{matrix}

végül a kérdezett valószínűség:

\begin{matrix} p = \frac{2^{n} - 8 (n - 2)}{2^{n}} = 1 - \frac{n - 2}{2^{n - 3}} \end{matrix}

(2)

(speciálisan

n = 5, 6, 7

és 10 esetére rendre

0, 25

;

0, 5

;

0, 6875

;

0, 9375)

Veres Sándor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)
Hargitai Bálint (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Meggondolásunk első része átvihető a gyermekek növekedő életkoruk szerinti felsorolására is. És ha minden gondolható kedvező felsorolásra megállapítjuk a legfiatalabb megfelelő gyermek

j

sorszámát is, és a felsorolásokat az első és utolsó megfelelő gyerek sorszámainak egyidejű figyelembevételével osztályozzuk, akkor az

i

és

j

indexű osztálybeli fölsorolásokban

j - (i - 1)

számú gyermeknek van bátyja is, nénje is, húga is és öccse is. Így kis módosítással fölvethető ez a kérdés is: találomra kiválasztva egy

n

gyermekkel bíró apa valamelyik gyermekét, mi a valószínűsége annak, hogy ennek a gyermeknek legyen bátyja is, öccse is, húga is és nénje is.

II. megoldás. Egyszerűbb számba venni a kérdés szempontjából kedvezőtlen ‐ röviden: "tlen'' sorrendeket, családokat.
Nyilván "tlen'' az eset, ha nincs lány a családban vagy ha csak 1 van. Az előbbi egyetlen módon lehet: csupa fiúval, az utóbbi

n

-féleképpen, a leány

1

2

...

n

indexe szerint.
2 leányt véve is "tlen'' a sorrend, ha nem áll köztük fiú:

f f

... f l l f f

... f

, mert egyik bátyjuknak sincs nénje, egyik öccsüknek sincs húga, és mert maguknak csak egyféle leánytestvérük van. Ilyen sorrend

(n - 1)

-féle van az első leány indexe szerint. A 2 leány közé 1 fiút iktatva ez az egyetlen, akinek már van kétféle leánytestvére, de még ilyen "

l f l

-blokk'' (változtathatatlan részsorrend) mellett is "tlen'' a sorrend, ha a blokk a sorrend elején vagy a végén van, ami 2 módot jelent. Ha azonban az

(n - 2)

fiú közül legalább 2 van a két leány között, akkor a sorrend már kedvező, tekintet nélkül a további

n - 4 (\geq 1)

fiú sorrendi helyzetére.
Az eddigiekben "lány'' helyett mindenütt "fiút'' mondva, fiú helyett viszont lányt ‐ ugyanezeket az eredményeket kapjuk; tehát azokban a családokban, ahol valamelyik nemű gyermekből legföljebb 2 van, a "tlen'' esetek száma

2 {1 + n + (n - 1) + 2} = 4 n + 4

; ugyanis így

n \geq 5

miatt egyetlen családot sem számítottunk kétszeresen.
Ha lány is, fiú is legalább 3 van ‐ azaz a leányok száma 3 vagy 4 vagy

... (n - 3)

, ami együtt

(n - 5)

eset ‐ az eddigiek mintájára minden esetben 4 "tlen'' képezhető:
a) az összes lány is, az összes fiú is egy-egy blokkot alkot, ez 2 mód:

l

...

l

f

...

f

és

f

...

f

l

...

l

;
b) a most mondott két blokk csatlakozásánál levő két gyerek sorrendjét fölcseréljük:

\begin{matrix} {\underset{︸}{l, l, ..., l,}}_{legalább 2}^{} f, l, {\underset{︸}{f, f, ..., f,}}_{legalább 2}^{} és {\underset{︸}{f, f, ..., f,}}_{legalább 2}^{} l, f \end{matrix}

Bármelyik nemből 1-nél többet áttéve a másik blokkba, a második áttettnek már négyféle testvére lenne.
Így a kedvezőtlen sorrendek száma:

\begin{matrix} (4 n + 4) + 4 (n - 5) = 8 n - 16 = 8 (n - 2), \end{matrix}

megegyezésben az I. megoldás (2) első törtjében a számláló kivonandójával.

Linnert László (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t.)