Kezdőlap


Feladat:	F.1851	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyimesi László
Füzet:	1973/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Elemi függvények differenciálhányadosai, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: F.1851

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A számtani sorozatban szokásos jelölést használva

\begin{matrix} a_{k} = a + (k - 1) d, A_{k} = k q^{a + (k - 1) d} . \end{matrix}

A mértani sorozat összegképletének levezetésénél célszerűnek bizonyult az összeget megszorozni

q

-val, s a kapott két sorozat különbségét venni. Próbálkozzunk most is ezzel az ötlettel. Szorozzuk meg, az

S_{n}

sorozatot

q^{d}

-nel, ami 1-től különböző pozitív szám, hacsak

d \neq 0

. (

d = 0

esetben a sorozat számtani sorozatba megy át, s ennek összegét könnyű meghatározni.)

\begin{matrix} S_{n} = q^{a} + 2 q^{a + d} + 3 q^{a + 2 d} + ... + n q^{a + (n - 1) d}, \\ q^{d} S_{n} = q^{a + d} + 2 q^{a + 2 d} + 3 q^{a + 3 d} + ... + n q^{a + n d} . \end{matrix}

A második összeget az elsőből kivonva, kiemelés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} S_{n} (1 - q^{d}) = q^{a} (1 + q^{d} + q^{2 d} + ... + q^{(n - 1) d} - n q^{n d}) . \end{matrix}

A zárójelben levő mértani sorozatra az ismert összegezési formulát alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{q^{a}}{1 - q^{d}} (\frac{1 - {(q^{d})}^{n}}{1 - q^{d}} - n q^{n d}) = \frac{q^{a}}{{(1 - q^{d})}^{2}} (1 - (n + 1) q^{n d} + n q^{(n + 1) d}) . \end{matrix}

Gyimesi László (Budapest, Piarista Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Vezessük be a következő további jelöléseket:

q^{d} = x

és

q^{a} = r

, ekkor

\begin{matrix} S_{n} = r + 2 r x + 3 r x^{2} + ... + r n x^{n - 1} = r (1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1}) . \end{matrix}

Az az észrevétel, hogy itt a

k x^{k - 1}

tag az

x^{k}

-nak a deriváltja, azt jelenti, hogy az

1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1}

összeg a

P (x) = x + x^{2} + ... + x^{n}

összegnek a deriváltja. Ennélfogva a

\begin{matrix} P (x) = x + x^{2} + ... + x^{n} = \frac{x^{n + 1} - x}{x - 1} \end{matrix}

azonosság alapján (hacsak

x \neq 1

) az összeg deriváltja egyenlő a jobb oldalon álló kifejezés deriváltjával. Ismert deriválási szabályok alapján

\begin{matrix} P'_{n} (x) = \frac{[(n + 1) x^{n} - 1] (x - 1) - (x^{n + 1} - x)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{1 - (n + 1) x^{n} + n x^{n + 1}}{{(1 - x)}^{2}} . \end{matrix}

Ezt

r = q^{a}

-nal megszorozva és

x = q^{d}

-t beírva, az előző megoldásban kapott eredményhez jutunk.

III. megoldás. Az előző megoldásban használt jelöléseket megtartva írjuk fel az

S_{n}

összeg

r

-ed részét és jelöljük

F_{n}

-nel:

\begin{matrix} F_{n} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} . \end{matrix}

Ez az összeg meghatározható a következőképpen is: legyen

\begin{matrix} f_{1} = x^{n - 1}, \\ f_{2} = x^{n - 1} + x^{n - 2}, \\ f_{3} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3}, \\ . . . . . . . . . . \\ f_{n} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + ... + x^{2} + x + 1, \end{matrix}

ekkor nyilvánvalóan

\begin{matrix} F_{n} = f_{1} + f_{2} + ... + f_{n} . \end{matrix}

(*)

f_{k} (k = 1, 2, ..., n)

összeg abból a mértani sorozatból az első

k

elem összege, amelynek első tagja

x^{n - 1}

és hányadosa

y = \frac{1}{x} = \frac{1}{q^{d}} \neq 1

.
Így a mértani sorozatra vonatkozó összefüggés alapján

\begin{matrix} f_{k} = x^{n - 1} \frac{y^{k} - 1}{y - 1} = c y^{k} - c, \end{matrix}

ahol

c

-vel átmenetileg az

\frac{x^{n - 1}}{y - 1}

kifejezést rövidítjük. Ennek és a

(^{*})

összefüggésnek a felhasználásával

\begin{matrix} F_{n} = c (y + y^{2} + ... + y^{n}) - n c = c y \frac{y^{n} - 1}{y - 1} - n c \end{matrix}

alakba írható, és ebből

y = \frac{1}{x}

és

c

visszahelyettesítésével az előző megoldás

P'_{n} (x)

eredményéhez jutunk.