Kezdőlap


Feladat:	F.1848	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1975/október, 61 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: F.1848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk meg az $A_{0} B_{0} C_{0}$ háromszög külső szögfelezőivel határolt $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszöget, ahol az $A_{1}, B_{1}$ és $C_{1}$ csúcs az $A_{0}, B_{0}$ , illetve $C_{0}$ csúccsal szemben fekszik.

Fejezzük ki az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög

α_{1}, β_{1}, γ_{1}

szögeit az eredeti háromszög

α_{0}, β_{0}, γ_{0}

szögeivel.
Felhasználva, hogy a külső szögfelezők merőlegesek a megfelelő belsőkre, és hogy

α' = π - \frac{γ_{0} + β_{0}}{2}

, adódik

\begin{matrix} α_{1} = \frac{γ_{0} + β_{0}}{2} = \frac{π}{2} - \frac{α_{0}}{2}, és hasonlóan β_{1} = \frac{π}{2} - \frac{β_{0}}{2}, γ_{1} = \frac{π}{2} - \frac{γ_{0}}{2} . \end{matrix}

Ugyanezt alkalmazhatjuk a

H_{k}, H_{k + 1}

háromszögekre is, vagyis a megfelelő szögekre az

\begin{matrix} α_{k + 1} = \frac{π}{2} - \frac{α_{k}}{2}, β_{k + 1} = \frac{π}{2} - \frac{β_{k}}{2}, γ_{k + 1} = \frac{π}{2} - \frac{γ_{k}}{2} \end{matrix}

rekurziós képletek adódnak. Ezekből megfordítva

\begin{matrix} α_{k + 1} - \frac{π}{3} = \frac{1}{2} (\frac{π}{3} - α_{k}), β_{k + 1} - \frac{π}{3} = \frac{1}{2} (\frac{π}{3} - β_{k}), γ_{k + 1} - \frac{π}{3} = \frac{1}{2} (\frac{π}{3} - γ_{k}) . \end{matrix}

Ennek ismételt alkalmazásával

\begin{matrix} α_{k} - \frac{π}{3} = \frac{1}{2^{k}} (\frac{π}{3} - α_{0}), tehát k \to \infty estén α_{k} \to \frac{π}{3}, \end{matrix}

és hasonlóan

β_{k} \to \frac{π}{3}, γ_{k} \to \frac{π}{3}

Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a fenti bizonyítással a következő érdekes és általánosabb megfogalmazású állítást láttuk be: a tetszőleges

a_{0}, b_{0}, c_{0}

valós számokból kiindulva az

\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{1}{2} (b_{k} + c_{k}), b_{k + 1} = \frac{1}{2} (a_{k} + c_{k}), c_{k + 1} = \frac{1}{2} (a_{k} + b_{k}) \end{matrix}

rekurziós képletekkel adódó

{a_{k}}, {b_{k}} és {c_{k}}

sorozatok közös határértékhez mégpedig az

\begin{matrix} \frac{1}{3} (a_{0} + b_{0} + c_{0}) \end{matrix}

számtani középhez tartanak.