A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egyetlen alkalmas példa megadása elég ahhoz, hogy a kérdésre így válaszolhassunk: igen, lehetséges. Írjunk a körbe egy szabályos 15-szöget, jelöljük egy csúcsát -gyel, egyik szomszédját -vel, majd ebben az irányban tovább haladva az egymás utáni csúcsokat rendre -mal, , -tel. Ekkor a menetirány mentén bármelyik két csúcs távolsága a köríven mérve annyi egység, mint az indexeik különbsége , az ellentétes irányban mérve pedig az ezt 15-re kiegészítő szám: , mindenesetre pozitív egész szám.
1. ábra Válasszuk halmazunk első pontjává et, majd egymás után azokat a csúcsokat, amelyeket a menetirányban váltakozva 2 és 3 egységnyi ívet haladva találunk. Ezek a ,,további'' pontok megfelelnek, mert egyik irányban 2 egységnyire van tőlük a szomszédos (a legközelebbi) kiválasztott pont, a másik irányban 3 egységnyire, a további pontok pedig távolabbra, pl. a második szomszéd mindkét irányban egységnyire. Mivel az ezzel a lépéspárral bejárt ívhossz 3-szor (egész számszor) van meg körünk kerületében, azért 3 lépéspárt előre haladva éppen be jutunk vissza, az -re teljesül a követelmény második része is, és a kiválasztott pontok száma , nem többszöröse -nek. ‐ A kérdésre tehát valóban igenlő a válasz. (Az 1. ábrán az összekötővonal nem lényeges, csak a jobb kiemelést célozza.) Megjegyzések. 1. Emberi gyengeség, hogy az igen gyorsan áttekinthető kérdésekre elsietett, elnagyolt választ adunk. A beküldött dolgozatokból is gyakran hiányzik annak kimondása, hogy semelyik pontunktól sincs egynél több pontja a halmaznak 2, illetve 3 egységnyi távolságban. (Ezt a hiányt azonban az elbírálásban elnézte a szerkesztőség.) 2. Az csúcsból rövidebben jutunk vissza - be fordított irányú haladással, - en át (1. ábra szaggatott vonala). Így azonban már nem maradhat el az előbb hiányolt bizonyítás, nem mondható ugyanis, hogy további pontja csak 2, ill. 3 egységnyinél nagyobb távolságra van a halmaznak, hiszen . 3. A feladatnak a kitűzéskor megadott forrásában (ahol a 2 és 3 egységnyi távolságok helyén 1 és 2 egységnyiek állnak) a fenti elv szerint csak ,,vegyes páros'' lépéssel jutunk vissza a kiindulópontba és így pontot jelölünk ki. A legutóbb mondott visszafordulás ugyanis nem lehetséges, mert az menetvonal mentén is egységnyi távolságra lenne -től (2. ábra). Ezen alapszik az ottani állítás.
2. ábra 4. Az 1. megjegyzésben említett elhamarkodás fokozott mértékben jelentkezik ilyen állításban: ,,csak 6 (vagy csak 4) pontból állhat a halmaz'' (szórványosan ez is olvasható az érkezett dolgozatokban). Itt az előkészítő 15-szög már gáttá emelkedett további kiválasztások elé. A 3. ábra megjelölt és pontjait egyesítve éppen 10 pontunk van. Az előkészítő 15-szög egységnyinél kisebb ívvel való elfordítása útján tetszés szerinti számú újabb 4 vagy 6 elemű részhalmazt jelölhetünk ki halmazunk céljára. 3. ábra |