Kezdőlap


Feladat:	F.1845	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Logaritmusos egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: F.1845

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szereplő logaritmusok csak az

\begin{matrix} x > y > 0 \end{matrix}

(3)

nagyságviszony esetében vannak értelmezve, csak ennek eleget tevő megoldást fogadhatunk el. A logaritmusokra vonatkozó azonosságok alapján (1) és (2) mindegyik oldalát egyetlen logaritmusként írjuk:

\begin{matrix} lg 2 (x - y) & = lg \sqrt[]{\frac{x}{y}}, & (1a) \\ lg \frac{x + y}{3} & = lg \sqrt[]{\frac{y}{x}} . & (2a) \end{matrix}

Ezekből a logaritmus inverz műveletével kapunk egyszerűbb, rendre ekvivalens egyenleteket.

10

-et az (1a) két oldalán álló, másrészt a (2a) két oldalán álló kitevőkre hatványozzuk. A

\begin{matrix} 10^{lg z} = z (ha z > 0) \end{matrix}

azonosság alapján:

\begin{matrix} 2 (x - y) & = \sqrt[]{\frac{x}{y}}, & (1b) \\ \frac{x + y}{3} & = \sqrt[]{\frac{y}{x}} . & (2b) \end{matrix}

A bal oldalak és a jobb oldalak hányadosainak egyenlőségét felírva, nem szerepel négyzetgyökjel:

\begin{matrix} \frac{6 (x - y)}{x + y} = \frac{x}{y} . \end{matrix}

A bal oldal számlálóját és nevezőjét

y

-nal osztva az

\frac{x}{y} = u

hányadosra másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} \frac{6 (u - 1)}{u + 1} = u, u^{2} - 5 u + 6 = (u - 2) (u - 3) = 0, \end{matrix}

és az innen adódó

u_{1} = 2

u_{2} = 3

gyökök mindegyike eleget tesz a (3)-ból következő

u > 1

követelménynek.
Mármost

u_{1} = 2

mellett

y_{1} = \frac{x_{1}}{2}

, ezt (1b)-be beírva tüstént a megoldást kapjuk:

\begin{matrix} 2 (x_{1} - \frac{x_{1}}{2}) & = x_{1} = \sqrt[]{2} (mindjárt csak a pozitív gyökét véve) \\ y_{1} & = \frac{1}{\sqrt[]{2}}; \end{matrix}

u_{2} = 3

mellett pedig hasonlóan

\begin{matrix} 2 (x_{2} - \frac{x_{2}}{3}) = \frac{4 x_{2}}{3} = \sqrt[]{3}, x_{2} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{4}, y_{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Mindezek szerint az (1), (2) egyenletrendszernek két megoldása van.