A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a háromszög csúcsait , , betűvel, és legyen úgy, hogy részei , , , továbbá legyen , , , és , ekkor a föltevés szerint .
Fejezzük ki az háromszög területét egyrészt , oldalaival és az szöggel, másrészt az és háromszögek hasonlóan kifejezett területeinek összegeként: | | Innen, mivel , Betűzzük át eredményünket a háromszögre, majd szorozzuk meg az új kifejezést (1)-gyel:
Felhasználtuk a továbbalakításban, hogy felezi az szöget és felezi a szöget, ennélfogva az ismert tétel szerint így -t kifejeztük a szakaszokkal A számpéldákban rendre adódik, s mivel mindenesetre hegyesszög, cosinusa pozitív, azért rendre
Megjegyzések. Az (1)-ben tulajdonképpen a oldalakkal és a köztük levő szög felezőjével meghatározott háromszög megfelezett szögét határoztuk meg, ami önmagában is érdekes eredmény. 2. Megkaphatjuk (2)-t abból is, hogy az háromszög területe egyenlő az , és háromszögek területének összegével, ha alkalmazzuk a sin -t a sin -mal kifejező azonosságot:
3. Az I. és a II. számpélda két-két szakaszának egyenlősége alapján egyszerűbben is célhoz juthatunk. Az I. esetében , az háromszög egyenlő szárú, és , továbbá , ez a értéke, tehát . A II. esetben felhasználható a egyenlőség, ami abból adódik, hogy két Apollóniosz-kör metszéspontja: , és ezek egymás tükörképei ‐ vagy ami most ugyanaz: ‐ felező merőlegesére. |