Kezdőlap


Feladat:	F.1840	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/március, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Trigonometria, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: F.1840

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes a következő azonosság:

\begin{matrix} ctg 2 x = \frac{{ctg}^{2} x - 1}{2 ctg x} = \frac{ctg x}{2} - \frac{1}{2 ctg x}, \end{matrix}

amiből átrendezéssel

\begin{matrix} \frac{1}{ctg x} = tg x = ctg x - 2 ctg 2 x \end{matrix}

(2)

minden olyan

x

-re, amelyre

ctg 2 x

értelmezve van, tehát amelyre (

k

-val egész számot jelölve)

2 x \neq k π

, vagyis

x \neq k (π / 2)

, hiszen ekkor

ctg x

is,

tg x

is értelmezve van.
Írjuk egymás alá (2)-t

(n + 1)

-szer,

x

helyén rendre az

\begin{matrix} α, \frac{α}{2}, \frac{α}{4}, ..., \frac{α}{2^{n}} \end{matrix}

számokkal, egyszersmind szorozzuk az azonosságokat rendre az

\begin{matrix} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{2^{n}} \end{matrix}

tényezővel:

\begin{matrix} \frac{1}{2^{i}} tg \frac{α}{2^{i}} = \frac{1}{2^{i}} ctg \frac{α}{2^{i}} - \frac{1}{2^{i - 1}} ctg \frac{α}{2^{i - 1}} . \\ (i = 0, 1, 2, ..., n) \end{matrix}

Az azonosságokat összeadva a bal oldalon (1) bal oldalát kapjuk. A jobb oldalon pedig mindegyik sor második tagja egyenlő az előtte álló sor első tagjának (

- 1

)-szeresével ‐ természetesen a második (

i = 1

indexű) sortól kezdve. Így a jobb oldalak összege egyenlő az

i = n

indexű sor első tagjának és az

i = 0

indexű sor második tagjának összegével, ami éppen (1) jobb oldala. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Az azonosság érvényességének egyetlen föltétele, hogy

2 α

ne legyen egész többszöröse

π

-nek.

Megjegyzés. A dolgozatok többsége teljes indukcióval bizonyította az állítást. Lényegében a fenti megoldás is az, de kevesebb írással.