Kezdőlap


Feladat:	F.1839	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/április, 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenség-rendszerek, Logaritmusos egyenlőtlenség-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: F.1839

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (2) bal oldala csak azokra az $x$ -ekre van értelmezve, amelyekre $- \sqrt[]{5} ≦ x ≦ \sqrt[]{5}$ , és ezekre nemnegatív; a jobb oldal viszont $x < 1$ mellett negatív; tüstént látjuk innen, hogy $- \sqrt[]{5} ≦ x < 1$ mellett (2) teljesül. Az $x ≧ 1$ értékekre a (2) négyzetre emelésével adódó

\begin{matrix} x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2) < 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséget vizsgáljuk. Ez

- 1 < x < 2

mellett teljesül. Ezek szerint (2) teljesül, ha

\begin{matrix} - \sqrt[]{5} ≦ x < 2. \end{matrix}

(3)

Az (1)-beli logaritmusalap mellett

log_{3 / 5} z < 1

csak akkor teljesül, ha

z > 3 / 5

(és ekkor

log z

értelmezve is van); eszerint (1) akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4} = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x + 3}{x + 2} = 1 + \frac{1}{x + 2} > \frac{3}{5} = 1 - \frac{2}{5} \end{matrix}

(az egyszerűsítés alapja az, hogy

x - 2 = 0

lehetőségét már kizárta a (3) korlátozás), azaz ha

\begin{matrix} \frac{1}{x + 2} > - \frac{2}{5} . \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség mindenképpen teljesül, ha

x + 2 > 0

, azaz

x > - 2

. Ha viszont

x + 2 < 0

, akkor csak

x + 2 < - \frac{5}{2}

x < - \frac{9}{2}

mellett teljesülne, ezeket az értékeket pedig (3) már kizárta.
Mindezek szerint a rendszer megoldása

\begin{matrix} - 2 < x < 2. \end{matrix}