A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az csúcsú, nagyságú szög szárainak az körüli, egységnyi sugarú körrel közös pontját -val, ill. -vel, és messe egymást -nak -beli és -beli érintője -ben. Ekkor felezi a szöget, és azt kell bizonyítanunk, hogy az érintőszakasz kisebb, mint -nak (rövidebbik) íve. Elég azt belátnunk, hogy ‐ és a vele egyenlő ‐ még az húrnál is rövidebb. E három szakasz az egyenlő szárú háromszöget alkotja, így a velük szemben fekvő szögekre az egyenlőtlenség egyenértékű állításunkkal. Mármost az négyszögből nyilvánvalóan , és mint merőleges szárú hegyes szögek a (2)-beli első szög egyenlő -vel, tehát (2) teljesül, amíg Azt kaptuk tehát, hogy a egyenlőtlenség valamivel tágabb feltétel mellett is érvényes, mint amely mellett a feladat a bizonyítást követeli. Bugyi Márta (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések. 1. A (2)-ben megengedhettük volna a és szögek egyenlőségét is, hiszen határozottan . Egyébként könnyű látni a táblázatokból, hogy a egyenlőség közelítőleg -nál következik be. 2. Mivel , bizonyításunkat így is mondhatjuk: mindaddig teljesül, amíg azaz Besenyei Lajos (Eger, Gárdonyi G. Gimn., IV. o. t.) II. megoldás. A feladat föltétele alapján , így ismert azonosságot és egyenlőtlenségeket alkalmazva A második lépésben alkalmazott becslés miatt itt nem olvashatjuk ki az állítás érvényességének kiterjesztését. III. megoldás. Vizsgáljuk az függvény változását a intervallumban. A függvény deriváltja pozitív az intervallum belsejében, tehát szigorúan monoton növekedő. Mivel , másrészt az intervallum jobb végpontjában is folytonos, azért Ezzel bebizonyítottuk az állítást. Bogsch Imre (Budapest, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.)
|