Kezdőlap


Feladat:	F.1835	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/február, 63 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: F.1835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldal ismert azonosságok alapján így alakítható:

\begin{matrix} 3 cos 3 z & = 3 cos (z + 2 z) = 3 cos z cos 2 z - 3 sin z sin 2 z = \\ = 3 cos z (cos^{2} z - sin^{2} z) - 6 sin^{2} z cos z = \\ = 3 cos z (cos^{2} z - 3 sin^{2} z) = 3 cos z (4 cos^{2} z - 3) = \\ = 12 cos^{3} z - 9 cos z . \end{matrix}

Most

0

-ra redukálunk és szorzattá alakítjuk az egyenlet többtagúját:

\begin{matrix} 0 & = 5 cos^{3} z - 3 cos z = 5 cos z (cos^{2} z - 0,6) = \\ = 5 cos z (cos z - \sqrt[]{0,6}) (cos z + \sqrt[]{0,6}) . \end{matrix}

Innen a megoldás:

\begin{matrix} cos z = 0 -ból: & z & = 90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, \\ cos z - \sqrt[]{0,6} = 0 -ból: & z & = k \cdot 360^{\circ} \pm 39^{\circ} 14', \\ cos z + \sqrt[]{0,6} = 0 -ból: & z & = k \cdot 360^{\circ} \pm 140^{\circ} 46', \end{matrix}

ahol

k

egész szám. ‐ Azonos átalakításokat végeztünk, más megoldás nincs.

Megjegyzés. A megoldás utóbbi két eredménye átcsoportosítással így is írható:

\begin{matrix} z = 39^{\circ} 14' + k \cdot 180^{\circ}, z = 140^{\circ} 46' + k \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}