Kezdőlap


Feladat:	F.1833	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/február, 60 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: F.1833

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat föltevései biztosítják, hogy az $x_{1}$ , $x_{2}$ gyökökből képzett

\begin{matrix} s_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} \end{matrix}

összeg egész szám. Megmutatjuk ugyanis, hogy

s_{n}

minden

n

mellett előállítható mint a két gyök

x_{1} + x_{2} = - p

összegéből,

x_{1} x_{2} = q

szorzatából és egész számokból véges számú összeadás és szorzás útján számított kifejezés. Egyidejűen megvizsgáljuk a feladat kérdését: adott

n

mellett

r

-nek milyen kitevőjű hatványával osztható

s_{n}

?
1. Az

n = 1

esetben

s_{1} = x_{1} + x_{2} = - p = - r p'

, ahol

p'

egész szám, és általában nem mondhatjuk, hogy

s_{1}

r

-nek

1

-nél nagyobb kitevőjű hatványával osztható.
Az

n = 2

esetben

\begin{matrix} s_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = p^{2} - 2 q, \end{matrix}

itt

p^{2} = r^{2} p'^{2}

és

- 2 q = - 2 r q'

, ahol

p'^{2}

és

q'

egész szám. Bár az első tag osztható

r^{2}

-nel, de a második csak

r

-rel, ezek együtt

s_{2}

-re általában csak az

r

-rel való oszthatóságot biztosítják. (Speciálisan

r = 2

esetében a második tag is osztható

r^{2}

-nel.)
Ha

n = 3

, akkor

\begin{matrix} s_{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) - (x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}) = \\ = - p s_{2} - x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = - p s_{2} + p q, \end{matrix}

mindkét tag a 2. hatványával osztható

r

-nek, tehát

s_{3}

is. Ugyanígy

\begin{matrix} s_{4} & = x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (x_{1} + x_{2}) s_{3} - (x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3}) = - p s_{3} - x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = \\ = - p s_{3} - q s_{2}, \end{matrix}

és a második tagra tekintettel csupán

r^{2}

-ről állíthatjuk, hogy vele

s_{4}

osztható.
Jelöljük

e_{n}

-nel azt a legnagyobb kitevőt (exponenst), amelyről állíthatjuk, hogy

s_{n}

osztható

r^{e_{n}}

-nel, így eddig a következőket találtuk:

\begin{matrix} n & = 1, 2, 3, 4 mellett \\ e_{n} & = 1, 1, 2, 2, \end{matrix}

azaz

n

-et

1

-gyel növelve

e_{n}

vagy változatlan maradt vagy maga is

1

-gyel nőtt:

e_{n} - e_{n - 1} = 0

vagy

1

(ha

n ≦ 4

). Mondhatjuk ezt is:

e_{n}

váltakozva megmaradt vagy nőtt, és

n

-et

2

-vel növelve

e_{n}

mindig

1

-gyel nőtt. Az utóbbit fogjuk általában bebizonyítani.
2. Mivel

x_{1}

és

x_{2}

az (1)-nek gyökei, azért fennáll

\begin{matrix} x_{1}^{2} + p x_{1} + q = 0 és x_{2}^{2} + p x_{2} + q = 0. \end{matrix}

Ezeket megszorozva rendre

x_{1}^{n - 2}

-nel,

x_{2}^{n - 2}

-nel, majd összeadva és rendezve

\begin{matrix} (x_{1}^{n} + x_{2}^{n}) + p (x_{1}^{n - 1} + x_{2}^{n - 1}) + q (x_{1}^{n - 2} + x_{2}^{n - 2}) = 0, \\ s_{n} = - p s_{n - 1} - q s_{n - 2} . \end{matrix}

A jobb oldal első tagja

r

-nek

1

-gyel magasabb hatványával osztható, mint

s_{n - 1}

, a második pedig

1

-gyel magasabb hatványával, mint

s_{n - 2}

, azaz bennük az

r

alap

(e_{n - 1} + 1)

, ill.

(e_{n - 2} + 1)

kitevővel szerepel. Ha tehát

e_{n - 1} = e_{n - 2}

, akkor

s_{n}

-re

\begin{matrix} e_{n} = e_{n - 1} + 1, \end{matrix}

és ekkor ugyanezzel a meggondolással

\begin{matrix} s_{n + 1} = - p s_{n} - q s_{n - 1} alapján e_{n + 1} = e_{n}, \end{matrix}

vagyis az exponensek sorozatában két egymás utáni, egyenlő tagot ‐ ha van ilyen pár ‐ két egyező, náluk

1

-gyel nagyobb tag követ, speciálisan

n - 1 = 4

-re

e_{5} = e_{6} = 3

; ha pedig

e_{n - 1} = e_{n - 2} + 1

, akkor hasonlóan

\begin{matrix} e_{n} = e_{n - 1}, és e_{n + 1} = e_{n} + 1, \end{matrix}

vagyis ha az exponens-sorozat egy tagjára egy

1

-gyel nagyobb következett, akkor a következő tag egyezik a legutóbbival, az erre következő pedig

1

-gyel nagyobb, speciálisan

n - 1 = 5

esetében

e_{6} = 3

és

e_{7} = 4

.
Mivel

n ≦ 4

esetében másféle kapcsolat nem volt

e_{n - 1}

és

e_{n - 2}

közt, ezzel beláttuk, hogy a fent látott szabályszerűségek általában érvényesek, vagyis a páros

n

-ekre,

n = 2,4, ...,2 m ...

esetére

e_{n} = 1,2, ..., m, ...

, a páratlanokra pedig,

n = 1,3,5, ...,2 m - 1

esetére

e_{n} = 1,2, ..., m

, azaz

\begin{matrix} e_{2 m - 1} = e_{2 m} = m, \end{matrix}

amit a számok egész részének

[]

jelével összefoglalva így írhatunk:

\begin{matrix} e_{n} = [\frac{n + 1}{2}], \end{matrix}

azaz

s_{n}

osztható minden olyan

r^{k}

-nal, amelyre

\begin{matrix} 1 ≦ k ≦ e_{n} = [\frac{n + 1}{2}] . \end{matrix}