A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Írjunk kört mindegyik kijelölt pont körül az adott kör sugarának részével. Az állítás akkor és csak akkor nem igaz, ha e kis ,,hatáskörök'' közt nincs olyan kettő, mely átfedné egymást (vagyis hogy volna közös belső pontjuk). Ugyanis csak ilyen átfedés esetében van a két kis kör középpontja egymástól -nál kisebb távolságban (és ez minden átfedés esetében így is van), hiszen érintkezés esetében már -mal egyenlő a távolság, ha pedig a két kör kerületének sincs közös pontja, akkor nagyobb -nál. Tegyük föl az állítással ellentétben, és az iméntiek szerint, hogy a 17 db kis kör közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Ekkor a 17 kör együttvéve területet fed le. Másrészt mind a kört le lehet fedni egy, a középpontja körüli sugarú körrel, hiszen alól egy hatáskörnek még akkor sem látszanék ki belső pontja, ha a hatáskör középpontja ‐ egy eredetileg kijelölt pontunk ‐ a kerületén volna. Ámde területe , kisebb -nél, lehetetlen tehát, hogy területén elférjen 17 db átfedés nélküli hatáskör. ‐ Meggyőződtünk az ellentétes állítás ellentmondó voltáról, ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
Füredi Zoltán (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. Meggondolásunkból az is adódik, hogy 17 pont helyett 16-ot véve is igaz a feladat állítása, mert 16 átfedés nélküli hatáskör sem fedhető le az együttesükkel egyenlő területű -vel amiatt, hogy több kör nem fedheti hézagtalanul a síkot átfedés nélkül. 2. A fenti gondolatmenettel azt is meg lehet mutatni, hogy egy sugarú kör belsejében tetszőlegesen kijelölve pontot, mindig található köztük kettő, amelyek távolsága kisebb -nél ‐ ahol ‐, ha Esetünkben . Prőhle Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
II. megoldás. Az eredeti kör sugarát hosszúságegységnek vesszük és megmutatjuk a következőt: lehet -t olyan 16 részre felosztani, hogy mindegyik rész átmérője ‐ ezen általában bármely síkidom két tetszőleges (belső vagy határ-) pontja közti távolság maximumát szokás érteni ‐ kisebb, mint . Ebből a feladat állítása már következik. Ugyanis a 17 pont bármilyen kijelölése esetén legalább 2 pont ugyanahhoz a részéhez tartozik a felosztásnak (ha egy kijelölt pont részek közös határvonalára esik ‐ vagy több határvonal csomópontjába ‐, akkor a pontot az illető részek mindegyikéhez tartozónak tekinthetjük), azon belül pedig nincs -nál nagyobb távolságú pontpár. A felosztást egy a -val koncentrikus, sugarú körrel készítjük elő, ennek belsejét 2 egymásra merőleges átmérővel 4 részre osztjuk, a és közti körgyűrűt pedig 12 egybevágó részre, körgyűrűcikkre, egymással szomszédos páronként -os szöget bezáró sugaraknak a gyűrűbe eső szakaszaival. Ekkor egy-egy belső negyedkörnek egyetlen pontja sincs messzebb a határoló körív végpontjától, mint az ívhez tartozó húr (a negyedkör benne van az közepű, sugarú körben, lásd ábra), tehát a rész mondott értelemben vett átmérője. És mindig teljesül A gyűrű 12-ed részének az átmérője pedig a belső és külső határoló ívéről vett egy-egy nem-szomszédos végpont távolsága, ami az , és oldalú háromszögből a cosinustétellel (a -vel szemben levő szög ), és így akkor lesz azaz ha Tizedes alakú közelítő törtekkel tájékozódva (1)-hez elegendő, ha , (2)-höz, ha , eszerint pl. mindkét föltételnek eleget tesz (ez tizedes közelítő törtek nélkül is belátható). A kívánt felosztás tehát létezik, állításunkat ezzel bebizonyítottuk.
Szigeti Gábor (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
Megjegyzés. A felhasznált felosztás azt is mutatja, hogy egy kört hézagtalanul le lehet fedni 16 db akkora sugarú körrel. |