Kezdőlap


Feladat:	F.1828	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kópházi József
Füzet:	1973/április, 161 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozott integrál, Egyenesek egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: F.1828

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kettévágandó $O A B$ idom területe

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} cos x \end{matrix}

eszerint a kettévágó egyenes mindkét partján

1 / 2

egységnyi területet kell kapnunk. Az egyenes egyenletét az a), d) és e) követelmény mellett pontosan megadhatjuk, a b) és c) esetekben csak közelítőleg.
Az a) esetben legyen a keresett egyenes egyenlete

x = a

; itt az

\begin{matrix} \int_{0}^{a} cos x \end{matrix}

A d) esetben az

O A B

idomnak az origót tartalmazó (az egyenes alatti) része derékszögű háromszög, magassága

1

, így alapja is

1

, az egyenes az

(1; 0)

pontban metszi az

x

tengelyt, egyenlete

y = 1 - x

.
Hasonlóan az e) esetben a derékszögű háromszög alapja

π / 2

, tehát magassága

2 / π

, egyben az egyenes és az

y

tengely metszéspontjának ordinátája, az egyenlet:

\begin{matrix} \frac{x}{π / 2} + \frac{y}{2 / π} = 1, y = \frac{2}{π} - \frac{4}{π^{2}} x, másképpen 4 x + π^{2} y - 2 π = 0. \end{matrix}

A b) esetben a területfelező egyenes egyenletét

y = b

alakban keressük és

β

-val jelöljük azt az ívet (szöget), amelyre

cos β = b

O A B

-ből a keresett egyenes fölé eső rész területére a követelmény szerint

\begin{matrix} \int_{0}^{β} (cos x - b) d x = {[sin x - b x]}_{0}^{β} = sin β - β cos β = \frac{1}{2}, \end{matrix}

tehát a következő egyenletet kell megoldanunk:

\begin{matrix} f (β) = sin β - β cos β - \frac{1}{2} = 0, \end{matrix}

(1)

erre a hátra levő c) eset egyenletének felállítása után térünk vissza.
Végül a c) esetben

y = c x

alakban keressük a területfelező egyenest, és az

y = cos x

görbével való metszéspontjának abszcisszáját

γ

-val jelöljük. Eszerint

\begin{matrix} c γ = cos γ, c = \frac{cos γ}{γ} . \end{matrix}

O A B

-ből az egyenes fölé eső rész területére fennáll

\begin{matrix} \int_{0}^{γ} (cos x - c x) d x = sin γ - \frac{c}{2} γ^{2} = sin γ - \frac{γ}{2} cos γ = \frac{1}{2}, \end{matrix}

tehát az (1)-hez hasonló alábbi egyenletet kell megoldanunk:

\begin{matrix} g (γ) = sin γ - \frac{γ}{2} cos γ - \frac{1}{2} = 0. \end{matrix}

(2)

Az (1) bal oldalának értéke

β = π / 2 \approx 1,571

mellett

0,5

;

β = π / 6

mellett -

π \sqrt[]{3} / 12 \approx - 0,45

és e két hely számtani közepében,

β = π / 3 \approx 1,047

mellett

(3 \sqrt[]{3} - π - 3) / 6 \approx - 0,134

. S mivel a bal oldal folytonos függvénye

β

-nak, azt várjuk, hogy grafikonja az

1,047

és

1,571

helyek közt, az előbbihez jóval közelebb, az

x

tengelyt alulról fölfelé átlépve fölveszi a

0

értéket. Az iskolai Függvénytáblázat 7. táblázatának (trig. függvények a radiánban mért szöghöz) két szomszédos értékéhez

\begin{matrix} β = 1,20 -hoz: sin β = 0,9320, cos β = 0,3624, f (1,20) = - 0,0029 < 0, \\ β = 1,21 -hoz: sin β = 0,9356, cos β = 0,3530, f (1,21) = + 0,0085 > 0. \end{matrix}

Látjuk, hogy az

f (1,21) : f (1,20)

hányados abszolút értéke jó közelítéssel

3

, azért lineáris interpolációval

\begin{matrix} β = 1,20 + \frac{10^{- 2}}{4} \end{matrix}

az a közelítő gyöke (1)-nek, amit táblázatunk alapján tovább nem finomíthatunk.

Ezzel a b) követelmény szerinti területfelező egyenes egyenlete

\begin{matrix} y = b = cos β = 0,360, \end{matrix}

és elfogadhatjuk, hogy az eredményben

3

az értékes jegyek száma. (Mivel

4

értékes jegyet tartalmazó adatokból több művelet végrehajtásával kaptuk

b

-t, nagyobb pontosságot nem várhatunk.)
Lényegében ugyanígy (2)-ben a

g (0,90) = + 0,0036 (> 0)

és

g (0,89) = = - 0,0030 (< 0)

értékekből

\begin{matrix} γ = 0,89 + \frac{30 \cdot 10^{- 4}}{(30 + 36) 10^{- 4}} \cdot 10^{- 2} = 0,89 + \frac{0,05}{11}, \end{matrix}

innen

cos γ = 0,6260

és

c = 0,700

, ismét

3

értékes jeggyel, tehát a felező egyenes egyenlete

y = 0,700 x

Kópházi József (Tatabánya Árpád Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A dolgozatok legtöbbje a szög fokban vett mértékszámaihoz kereste az arcus, a sinus és a cosinus értékét (az isk. Függvénytáblázat 5. és 8. táblázataival). Úgy nehézkesebb a számítás és kevésbé pontos is.

2. Az a) és b) eredményekből egy-egy további felezését olvashatjuk ki az

O A B

idomnak e kérdések analógjaként, abban az értelemben, hogy az

x = a

vágóvonal az

O B

határszakasz eltoltjának tekinthető az

O A

mentén, az

y = b

vágóvonal pedig

O A

eltolása

O B

mentén. Kérdezhetjük ugyanis: mennyivel kell eltolni az

A B

ívet

A

-nál fogva,

A O

mentén, valamint

B

-nél fogva

B O

mentén, hogy új helyzetében éppen két egyenlő területű részre ossza

O A B

-t.
Nos, mivel

O A B

-nek az

x = π / 6

egyenestől a fele esik balra, a fele jobbra azért az utóbbi részt

(π / 6; 0)

pontjánál fogva kell az origóba tolnunk, az eltolás

- a = - π / 6

. És hasonlóan az

y

tengelyirányú,

b = - 0,360

-del való eltolás a másik kérdés megoldása.