Kezdőlap


Feladat:	F.1824	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1975/november, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Háromszögek nevezetes tételei, Számsorok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: F.1824

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $H$ , $H'$ háromszögek $1 / λ$ arányú beírt háromszögeit $H^{*}$ -gal, illetve $\bar{H}$ -sal (olvasd: há fölül vonás). Megmutatjuk, hogy $\bar{H}$ a $H^{*}$ -nak $λ$ arányú beírt háromszöge, és $H$ -ból az $S$ centrumú

\begin{matrix} q = \frac{λ^{2} - λ + 1}{λ^{2} + 2 λ + 1} \end{matrix}

arányú hasonlósági transzformációval is megkapható, ahol

S

H

súlypontja. Jelöljük

H^{*}

csúcsait

A^{*}

-gal,

B^{*}

-gal,

C^{*}

-gal, a

B^{*} C'

B' C^{*}

B C

szakaszok felezőpontjait rendre

P

-vel,

Q

-val,

R

-rel.

Mivel

\begin{matrix} \frac{A C'}{A B} & = \frac{A C'}{A C' + C' B} = \frac{λ}{λ + 1} = p, \\ \frac{A B^{*}}{A C} & = \frac{A B^{*}}{A B^{*} + B^{*} C} = \frac{λ}{λ + 1} = p, \end{matrix}

azért az

A B^{*} C'

háromszög

H

-ból az

A

centrumú,

p

arányú hasonlósággal kapható meg, emiatt

B^{*} C' ‖ B C

, és

A P = p \cdot A R

. A

B^{*}

C^{*}

pontok származtatása miatt

C^{*} B = A C'

A B^{*} = B' C

, tehát

A B' C^{*}

H

-ból az

A

centrumú,

(1 - p)

arányú hasonlósággal kapható meg, emiatt

B' C^{*} ‖ B C

, és

A Q = (1 - p) \cdot A R

. Legyen

\bar{A}

P Q

szakasznak az a pontja, amelyre

\begin{matrix} \frac{P \bar{A}}{\bar{A} Q} = \frac{p}{1 - p} = λ, \end{matrix}

(2)

akkor az

\bar{A}

centrumú,

λ

arányú hasonlóság

P

-t

Q

-ba,

B^{*} C'

-t

B' C^{*}

-ba viszi, így

\begin{matrix} \frac{B' \bar{A}}{\bar{A} C'} = \frac{\bar{A} C^{*}}{B^{*} \bar{A}} = \frac{1}{λ} . \end{matrix}

Tehát

\bar{A}

H'

-nek

1 / λ

arányú, és a

H^{*}

-nak

λ

arányú beírt háromszögében is csúcs, és rajta van

H

-nak

A R

súlyvonalán.

(2)

miatt

\begin{matrix} A \bar{A} = p \cdot A Q + (1 - p) \cdot A P = 2 p (1 - p) \cdot A R = \frac{2 λ}{{(λ + 1)}^{2}} A R, \end{matrix}

tehát

\bar{A}

A

-ból az

S

centrumú,

\begin{matrix} q = \frac{\bar{A} S}{A S} = 1 - \frac{A \bar{A}}{A S} = 1 - \frac{3 λ}{{(λ + 1)}^{2}} = \frac{λ^{2} - λ + 1}{λ^{2} + 2 λ + 1} \end{matrix}

arányú hasonlósággal is megkapható.
Hasonlóan láthatók be a

\bar{H}

másik két csúcsára vonatkozó állításaink is, előrebocsátott megjegyzésünk bizonyítását ezzel befejeztük.
A most bizonyított állítás szerint

H_{n + 1}

H_{n}

-ből

q

arányú centrális hasonlósággal kapható meg, tehát

H_{n + 1}

kerülete

H_{n}

kerületének

q

-szorosa. Eszerint a

H_{n}

háromszögek kerületei mértani sorozatot alkotnak, amelyben az első tag

1

, és a szomszédos elemek hányadosa

q

, és

| q | < 1

. Ismeretes, hogy ebben az (

n

elemű) sorozatban az elemek összege

(1 - q^{n}) / (1 - q)

, tehát a

H_{n}

háromszögek kerületeinek

K

összege, ha

n

minden határon túl nő,

\begin{matrix} K = \frac{1}{1 - q} = \frac{{(λ + 1)}^{2}}{3 λ} hosszúságegység . \end{matrix}

Láttuk már, hogy egy háromszög

λ

arányú beírt háromszögének

1 / λ

arányú beírt háromszöge megegyezik a háromszög

1 / λ

arányú beírt háromszögének

λ

arányú beírt háromszögével. Emiatt a

H_{n}'

háromszögek kerületei is mértani sorozatot alkotnak, amelyben a szomszédos elemek hányadosa szintén

q

. A feladat b) állítása tehát következik abból a tényből, hogy az azonos hányadosú (végtelen) mértani sorok összegei úgy aránylanak egymáshoz, mint e sorok első tagjai.