Kezdőlap


Feladat:	F.1821	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/december, 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: F.1821

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $c$ -vel az $a$ és $b$ számok közül a kisebbiket, $d$ -vel a nagyobbikat, akkor $d = c + 2$ , és $c$ páratlan. Azt kell megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} N = a^{b} + b^{a} = c^{c + 2} + d^{c} = c^{2} \cdot c^{c} + d^{c} = (c^{c} + d^{c}) + (c^{2} - 1) c^{2} \end{matrix}

osztható az

\begin{matrix} n = a + b = c + d = 2 (c + 1) \end{matrix}

számmal. Mivel

c

páratlan,

c^{c} + d^{c}

osztható

n = c + d

-vel, hiszen ekkor^{$^{*}$}

\begin{matrix} c^{c} + d^{c} = (c + d) (c^{c - 1} - c^{c - 2} d + c^{c - 3} d^{2} - ... - c d^{c - 2} + d^{c - 1}), \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} c^{2} - 1 = \frac{c - 1}{2} \cdot n \end{matrix}

alapján

c^{2} - 1

is osztható

n

-el. Eszerint

N

fenti alakjában mindkét tag osztható

n

-nel, így osztható

n

-nel

N

is.

^{$^{*}$}Más betűzéssel alkalmaztuk a Hack F.: Függvénytáblázatok, Matematikai összefüggések (Tankönyvkiadó, Budapest, 1967) c. segédkönyv 221.241. jelszámú összefügését.