Kezdőlap


Feladat:	F.1820	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Breuer Péter , Máthé Sarolta , Smohay Ferenc
Füzet:	1973/november, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Középvonal, Egyenes körkúpok, Térfogat, Térelemek és részeik, Gömb és részei, Szinusztétel alkalmazása, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: F.1820

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kúp alapkörének centruma $C$ , sugara $r$ , a kúp csúcsa $M$ , magassága $m$ , továbbá az $S$ metsző síknak az alapkörrel közös pontja $A$ , a $C M$ tengellyel való metszéspontja $T$ . Számadatainkra tekintettel csak a $C T = m_{1} < C M$ esetet tekintjük, egyelőre általában, ekkor $S$ a kúpnak minden alkotóját metszi és ‐ mint ismeretes a tankönyvből ‐ a metszésvonal ellipszis. Így a kúp egyik része ellipszis alapú ferde kúp, ennek térfogatát $V_{1}$ -gyel, az eredeti kúpét $V$ -vel jelölve a $V_{1} : (V - V_{1}) = λ$ arányt kell megállapítanunk.

1. ábra

2. ábra

Megmutatjuk, hogy

S

merőleges az

M C A

síkra, más szóval hogy az

M C A

sík közös szimmetriasíkja

S

-nek és a kúpnak, tehát a metszésvonaluknak is. Ha ugyanis az

M C

-n átmenő,

S

-re merőleges

S_{1}

sík ‐ ami közös szimmetriasíkja

S

-nek és a kúpnak ‐ az alapkörből egy, az

A A'

átmérőtől különböző

A_{1} A'_{1}

átmérőt metszene ki, akkor

S

-nek még egy pontja lenne az alapkörön, ti.

A

-nak az

S_{1}

re (az

A_{1} A'

-re) való tükörképe, ez pedig ki van zárva. Eszerint az

S

és

M C A

síkok

A T

metszésvonala az ellipszisnek szimmetriatengelye; mégpedig a nagytengelye, mert a metszésvonal ellipszis voltának a Dandelin-féle érintőgömbökkel való említett bizonyítása szerint ezen a tengelyen vannak a fókuszok, ti. ahol a két gömb

S

-et érinti.
Jelöljük a nagytengely másik, az

M A'

alkotón levő végpontját

B

-vel, az ellipszis középpontját

O

-val,

B

-hez közelebbi fókuszát

F

-fel. A

λ

arányszám kiszámításához szükségünk van egyrészt az ellipszis

t

területére, illetve

a = A B / 2

és

b

féltengelyeire, amelyekből

t = π a b

, másrészt a ferde kúp

M M'

magasságára, ahol

M'

M

-nek az

A T

egyenesen levő vetülete.
Legyen az

A B A'

háromszög

A B

-vel párhuzamos középvonala

C C' (= a)

. Ekkor egyrészt a párhuzamos szelők tételéből

\begin{matrix} B T = C' C \frac{T M}{C M} = a \frac{m - m_{1}}{m}, \end{matrix}

másrészt az

A T C

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} T A = \sqrt[]{r^{2} + m_{1}^{2}} . \end{matrix}

és ezekkel a

B T + T A = B A = 2 a

egyenletből

\begin{matrix} a = \frac{m}{m + m_{1}} \sqrt[]{r^{2} + m_{1}^{2}} . \end{matrix}

A kistengely felehosszát a

b^{2} = a^{2} - O F^{2}

összefüggés alapján számítjuk abból, hogy

F

a ferde kúpba beírt gömbnek

S

-sel való érintkezési pontja, illetve a fentiek alapján az

A B M

háromszög beírt körének az

A B

oldalon levő érintési pontja

\begin{matrix} B F = \frac{1}{2} (B A + B M - A M), O F = a - B F = \frac{1}{2} (A M - B M) = \frac{1}{2} A' B, \end{matrix}

és az

A' A B

háromszögre a sinustételt alkalmazva

\begin{matrix} O F = \frac{1}{2} \frac{A B sin B A A' ∢}{sin B A' A ∢} = \frac{a m_{1}}{m} \sqrt[]{\frac{r^{2} + m^{2}}{r^{2} + m_{1}^{2}}}, \\ b^{2} = a^{2} - O F^{2} = \frac{a^{2} r^{2} (m^{2} - m_{1}^{2})}{m^{2} (r^{2} + m_{1}^{2})} = \frac{r^{2} (m^{2} - m_{1}^{2})}{{(m + m_{1})}^{2}} = r^{2} \frac{m - m_{1}}{m + m_{1}} . \end{matrix}

Végül a ferde kúp magassága

\begin{matrix} M M' = M T sin M T M' ∢ = M T sin C T A ∢ = \frac{(m - m_{1}) r}{\sqrt[]{r^{2} + m_{1}^{2}}} . \end{matrix}

Mindezek behelyettesítésével, majd felismerve az eredeti kúp térfogatképletét:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{π}{3} a b \cdot M M' = \frac{π r^{2} m}{3} {(\sqrt[]{\frac{m - m_{1}}{m + m_{1}}})}^{3} = V {(\sqrt[]{\frac{m - m_{1}}{m + m_{1}}})}^{3}, \end{matrix}

azt látjuk, hogy

λ

csak

m

-től és

m_{1}

-től függ,

r

-től nem.
Számadatainkkal

r = 13

m = 39

m_{1} = 39 - 30 = 9

V_{1} = V \cdot 0, 4941

; a másik ‐ a csonka ‐ rész térfogata

V \cdot 0, 5059

, tehát

λ = 0, 4941 : 0, 5059

. Másképpen: a felső (a csúcsot tartalmazó) rész térfogata az alsóénak

97, 7 %

-a, fordítva pedig

102, 4 %

az arányszám.
Összeállítva a következők dolgozatainak részeiből:
Máthé Sarolta (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
Smohay Ferenc (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV. o. t.)
Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Más lehetőség az

a

b

M M'

szakaszok hosszának kiszámítására a

C A

C M

tengelyekkel kifeszített derékszögű koordináta-rendszerben

B_{1}

O

O_{1}

(az

O

vetülete

C M

-re) meghatározása, majd az

O_{1}

középpontú körmetszet sugara, ebben

2 b

O O_{1}

távolságra levő húr. A megoldások többsége így jutott célhoz.
2. A feladat

m

és

m_{1}

számadatai közelítő értékek a következő régi osztozkodási feladatra: értékes anyagból való kúp alakú test olyan síkmetszettel vágandó két egyenlő térfogatú részre, hogy a metszet érintse az alapkört. Helyes felosztásnál

m_{1}

-et valamivel kisebbre kellene venni. Az átmérő adatot csak a jobb elképzelés érdekében szerepeltette a szerkesztőség.