Kezdőlap


Feladat:	F.1819	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gál Péter
Füzet:	1973/december, 198 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Szabályos sokszög alapú gúlák, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Kocka, Térelemek és részeik, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: F.1819

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka középpontja $O$ , két lapja az $A B C D = N$ és az $A D B^{*} C^{*}$ négyzet, ezek középpontja $K_{1}$ , illetve $K_{2}$ és $O$ -nak ezekre vett tükörképe a $O_{1}$ ill. $O_{2}$ (1. ábra).

1. ábra

Így az

O K_{i}

egyenesek

(i = 1, 2)

a kocka laptengelyei. Mivel

A D = 1

O K_{i} = 1 / 2

és

O O_{i} = 2 \cdot O K_{i} = 1

, azért a gömb sugarára kimondott korlátozás szerint

O K_{i} < r < O O_{i}

és a vizsgálandó

T

test

6

új csúcsa közül egy-egy a

K_{i} O_{i}

szakasznak egy

E_{i}

belső pontja. Ezért

T

konvexsége alapján az

A D E_{i}

háromszögek a

T

-nek lapjai, mert minden más csúcsa az

A D E_{i}

síknak egyik oldalán van (2. ábra), hiszen a

K_{i} O_{i}

félegyenesen

O_{i}

, az

E_{i}

-ként meg nem engedett, legközelebbi pont, és

A

D

O_{1}

O_{2}

nyilvánvalóan egy síkban vannak.

2. ábra

3. ábra

Így

T

lapjai négyesével egy-egy olyan szabályos gúla oldallapjai, melynek alapja a kocka egy lapja, és

T

örökli a kocka minden szimmetriáját, hiszen minden olyan forgatás és tükrözés, amely a kockát önmagába viszi át, ugyanezt teszi a

6

új csúcs együttesével.
Ezek szerint

T

-nek ‐ bármely megengedett

r

mellett ‐ csupán kétféle nagyságú lapszöge van: a kockából származó éleknél akkora, mint az

A D

élnél az

A D E_{1}

, és

A D E_{2}

, lapok szöge, a gúlaéleknél pedig akkora, mint az

A E_{1}

élnél az

A E_{1} D

és

A E_{1} B

lapok szöge.
Az első lapszög egyenlő az

E_{1} E_{2} F

egyenlő szárú háromszög

F

-nél levő szögével ‐ ahol

F

A D

él felezőpontja ‐, mert

F E_{1}

is,

F E_{2}

is merőleges

A D

-re. A második lapszögre vonatkozóan azt használjuk föl

T

szimmetriáiból, hogy szárlapjai, az

A E_{1} D

és

A E_{1} B

háromszögek, egymás tükörképei a kocka

A C C^{*}

átlós síkjára, ezért a

D

-ből és

B

-ből

A E_{1}

-re bocsátott merőlegesek talppontja közös. Ezt

G

-vel jelölve, a második fajta lapszöget a

D B G

egyenlő szárú háromszög

G

-nél levő szöge méri.
Ezek szerint a két lapszög akkor és csak akkor egyenlő, ha a

D B G

háromszög hasonló az

E_{1} E_{2} F

háromszöghöz, azaz ha

\begin{matrix} \frac{E_{1} F}{D G} = \frac{E_{1} E_{2}}{D B} . \end{matrix}

(1)

Itt a bal oldal az

A D E_{1}

háromszög kétféle magasságának aránya, ezért egyenlő a rájuk merőleges alapok arányának reciprokával,

\frac{A E_{1}}{A D}

-vel ‐ itt speciálisan

A E_{1}

-gyel ‐ , a jobb oldal pedig az

E_{1} E_{2} O

és

D B A

egyenlő szárú derékszögű háromszögek átfogóinak aránya, tehát egyenlő befogóik arányával, ami

\frac{E_{1} O}{D A} = E_{1} O = r

. Ezeket (1)-be beírva, négyzetre emelés után

\begin{matrix} A E_{1}^{2} = A K_{1}^{2} + K_{1} E^{2} = \frac{1}{2} + {(r - \frac{1}{2})}^{2} = r^{2}, \end{matrix}

és innen a lapszögek egyenlőségének keresett feltétele:

\begin{matrix} r = \frac{3}{4} . \end{matrix}

Gál Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A lapszög nagysága ki is számítható. Bármely megengedett

r

mellett

\begin{matrix} E_{1} F E_{2} ∢ = φ = 90^{\circ} + 2 \cdot E_{1} F K_{1} ∢, \end{matrix}

és ehhez

\begin{matrix} tg E_{1} F K_{1} ∢ = \frac{E_{1} K_{1}}{K_{1} F} = 2 r - 1, \end{matrix}

így a meghatározott érték mellett

\begin{matrix} \frac{φ - 90^{\circ}}{2} = arc tg (2 r - 1) = arc tg \frac{1}{2} = 26^{\circ} 34', φ {= 143}^{\circ} 08' . \end{matrix}