Kezdőlap


Feladat:	F.1818	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gál Péter
Füzet:	1976/november, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merőleges affinitás, Parabola egyenlete, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: F.1818

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a parabola fókuszát $F$ -fel, vezéregyenesét $d$ -vel, az adott pontot $Q$ -val, a csúcsot $C$ -vel, ekkor a $t$ tengely átmegy $C$ -n és merőleges $d$ -re. Legyen továbbá $Q$ és $C$ vetülete $d$ -re $Q_{1}, C_{1}$ .

1. ábra

Ekkor a definíció szerint

Q F = Q Q_{1}, C F = C C_{1}

, és mivel

F, C_{1}

is a

t

-n van,

C C_{1} = F C_{1} / 2

. Ugyanennyire van

d

-től az

F Q_{1}

szakasz

Q_{2}

felezőpontja is, tehát

Q_{2}

rajta van a

C

-ben a

t

-re állított

c

merőlegesen, ami megszerkeszthető. Szerkeszthető

Q Q_{1}

is, párhuzamos

t

-vel, messe ez

c

-t

Q_{3}

-ban.
Ezek alapján adatainkból

F

és

d

szerkesztése a következő: a

t

-re

C

-ben állított

c

merőleges és a

t

-vel

Q

-n át rajzolt

q

párhuzamos metszéspontja

Q_{3}

C Q_{3}

felezőpontja

Q_{2}

, a

Q Q_{2}

-re

Q_{2}

-ben állított merőleges kimetszi

t

-ből

F

-et,

q

-ból pedig

d

-nek

Q_{1}

pontját, ezzel

d

is ismert. A szerkesztés elvégezhető, ha

Q

nincs rajta sem

t

-n, sem

c

-n.
Legyen most már az adott egyenes

e

. A keresett

E

parabolapont szerkesztésében

e

-nek adjuk át az előbbi

q

szerepét:

e

metszi

d

-t

E_{1}

-ben és

F E_{1}

felező merőlegese kimetszi

e

-ből

E

-t.

II. megoldás. Legyen parabolánk egyenlete

y = a x^{2}

, eszerint az adott

C

csúcsot origónak, az adott

t

tengelyt ordinátatengelynek választottuk. Legyen továbbá az adott

Q

pont vetülete az

y

tengelyre

Q'

, vagyis

Q

koordinátái

C Q' = y_{1}, Q Q' = x_{1}

, végül a kérdéses

e

egyenesnek

t

-től való távolsága

x_{2}

, előjellel együtt értve, és a keresett

E

metszéspont ordinátája

y_{2}

2. ábra

Ekkor

\begin{matrix} y_{1} = a x_{1}^{2} és y_{2} = a x_{2}^{2} . \end{matrix}

Az ismeretlen

a

állandó kiküszöbölésével

\begin{matrix} \frac{y_{2}}{y_{1}} = {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{2}, y_{2} = y_{1} \cdot \frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}, \end{matrix}

vagyis az ordinátát úgy kapjuk, hogy

y_{1}

-et nyújtjuk (ill. zsugorítjuk)

x_{2} / x_{1}

arányban és az eredményt még egyszer ugyanebben az arányban. Ennek egyféle végrehajtása:

C Q

és

e

metszéspontja

E_{1}

, ennek vetülete

Q Q''

-re

E_{2}

, ekkor

C E_{2}

metszi ki

E

-t.
Itt

F

és

d

megszerkesztése nélkül kaptuk

E

-t.

Gál Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

Megjegyzés. Erre a ,,klasszikus'' feladatra több megoldás is ismeretes. Kitűzésekor azt vártuk, hátha akad valaki, aki közelébe talál a kitűző érdekes, de kevésbé ismert megoldásának,^{$^{*}$} ez azonban nem vált be.

^{$^{*}$}Lásd: B. Szőke: Eine mechanische Parabelkonstruktion, Praxis d. Math. (1973) 100. oldal.