A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A konvexség azt jelenti, hogy a átló szétválasztja a , csúcsokat, a átló pedig -t és -t, eszerint , és hasonlóan . Most a négyszögnek mind a négy részháromszögében csupán két‐két független adatot ismerünk.
Megoldhatjuk azonban feladatunkat úgy, hogy kifejezzük a és háromszögből -t, ill. -t (a sinustétel alapján) a kérdezett oldallal és ismert szögek függvényeivel, majd e két kifejezés felhasználásával az háromszögből az ismert -t fejezzük ki (a cosinustétel alapján) a kérdezett oldallal és ismert szögek szögfüggvényeivel. Ezáltal ugyanis egyenletet kapunk -re:
amiből, áttérve a szögeknek az ábra szerinti egyszerűbb jelölésére
Számadatainkkal | |
Megjegyzések. 1. Természetesen a és távolságok kifejezéseivel is kifejezhettük volna -t, majd ezzel -t. 2. Feladatunkban a numerikus számítást elvégezhettük trigonometriai táblázat nélkül, mert mind a négy szögadat ún. ,,nevezetes szög'', és ilyenek a felhasznált összegeik is. 3. A feladat a gyakorlati trigonometriában (geodéziában) is szerepel, mint az , , és tereppontok közti 6 távolság kapcsolatának kérdése, ha ismerjük egyrészt az és alappontok távolságát, másrészt a meghatározandó és pontokban a másik három pont felé mutató irányok közti szögeket. A feladatot Hansen‐féle hátrametszésnek nevezik. A tankönyvből ismert hátrametszéshez hasonlítva tekinthetjük egyedül -t meghatározandó pontnak, -t mintegy a hiányzó harmadik alappont pótlására önkényesen fölvett pontnak, amely azáltal válik használhatóvá, hogy benne elvégezhetjük ugyanazokat a szögméréseket, mint -ben. Gyakorlati feladatban a mért szögadatok tetszés szerintiek lehetnek, ilyenek mellett a fenti számítása nehézkes a végzendő több különféle művelet miatt. Bemutatjuk alább a megoldás egy átalakítását abból a korból, amikor a számolások megkönnyítésének majdnem kizárólagos eszközei a logaritmus‐táblázatok voltak. Egyébként feladatunk szerkesztéssel való megoldását a Gy. 1419. gyakorlat fogja adni.
II. megoldás. Először az ismert oldalra támaszkodó és szögeket számítjuk ki. Összegük nyilvánvalóan , ismert. Az azonosságból a sinustétel alapján | | és az addíció tétel alkalmazásával
és itt a második tag kiszámítása trigonometriai logaritmustáblázat használatával csak összeadást‐kivonást igényel. (Asztali ‐ kézi vagy elektromechanikus ‐ számológépen is könnyebb a számítása, mert csak szorzás, osztás fordul elő benne.) és ismeretében a négy pont közti 5 további szakasz a sinustétel alapján számítható, vagyis a cosinustételnél kényelmesebben.
Megjegyzés. Használtuk a ,,kényelmes'' számolás kifejezést, és némelyeknek talán furcsának tűnik ez az összekapcsolás. De talán megérzik, hogy csak azt szokás érteni ezen: a számítási elv (a végképlet) megállapítása után a numerikus végrehajtással kevesebb a probléma. Czapáry E.‐Horvay K.‐Pálmay L.: Matemetika a gimn. III. o. számára, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968., 68. oldal. |