Kezdőlap


Feladat:	F.1813	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buza Antal
Füzet:	1973/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Euler-egyenes, Körülírt kör, Magasságpont, Körök, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: F.1813

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Toljuk el az $M A$ szakaszt úgy, hogy a magasságpont a $C$ csúcsba jusson, és legyen $A$ új helyzete $A'$ . Ekkor egyrészt $A' C | | A M ⊥ B C$ , másrészt $A' A | | C M ⊥ B A$ , vagyis $A'$ a $B C$ -re $C$ -ben és $B A$ -ra $A$ -ban állított merőlegesek metszéspontja, tehát Thalész tételének megfordítása alapján azonos az $A B C$ háromszög köré írt $k$ kör $B$ -ből kiinduló átmérőjének végpontjával. Eszerint a $B C$ és $C A' = M A$ szakaszokból mint befogókból szerkesztett derékszögű háromszög körülírt köre éppen $k$ . (Mondjuk ki mindjárt: $k$ bármely $B C$ , $M A$ adatpár esetén létrejön, $M A = 0$ esetén átmérője maga $B C$ , ami viszont természetesen nem lehet $0$ .)

D

pont ‐ értelmezésénél fogva ‐

k

-nak az

A

-t nem tartalmazó

B C

ívén keletkezik. És mivel a

B A D

és

D A C

egymással egyenlő szögek

k

-nak a

B D

D C

ívén nyugvó kerületi szögei (természetesen azokat a

B D

D C

íveket értve, amelyek az

A

-t nem tartalmazó

B C

ív részei), azért e két ív egyenlő egymással. Így a

B D

D C

húrok is egyenlők, tehát

D

szerepére csak az a

D_{1}

és

D_{2}

pont alkalmas, ahol a

B C

szakasz

f

felező merőlegese metszi

k

-t (más szóval

D_{1}

és

D_{2}

B C

-re merőleges átmérő végpontjai). És folytatólag az

A

csúcs nem lehet máshol, mint azokon a

k_{i}

körökön

(i = 1, 2)

, melyeknek középpontja

D_{i}

és sugaruk egyenlő az előírt

D A

szakasszal, vagyis

k

és

k_{i}

valamelyik közös pontjában. Ezzel a szerkesztést befejeztük.
Amennyiben

k

és

k_{i}

közös pontja a

B C

egyenesnek

D_{i}

-t nem tartalmazó partján adódik, akkor a közös pont megfelel

A

szerepére, és az

A B C

háromszög megfelel a feladat követelményeinek, mert így az

A B C

háromszög

M

magasságpontjára a fenti meggondolás szerint teljesül

M A = C A'

, másrészt

B C

és

D A

hossza is az előírás szerinti.
Ha a

D_{i}

pontot véve, a

D A

hosszúságra teljesül

D_{i} B < D A < D_{1} D_{2}

, akkor

k_{i}

két különböző pontban metszi

k

-t, de a keletkező két háromszög egymástól nem lényegesen különböző, hiszen egymás tükörképei

f

-re. Ha

D A = D_{1} D_{2} = B A'

, akkor egyenlő szárú háromszöget kapunk eredményül. Ha pedig

D A ≦ D_{i} B

vagy

D A > B A'

, akkor

k_{i}

nem ad megoldást.
Mint már említettük, előfordulhat az adathármasban az

A M = 0

érték is (viszont akár

B C = 0

, akár

D A = 0

eleve elfajult esetet jelent). Ilyenkor

M

azonos

A

-val, a

B A C

szög derékszög,

B C

átmérő,

D_{1}

és

D_{2}

egymás tükörképei

B C

-re, ezért eleve elég

D_{1}

-gyel foglalkoznunk.
Mindezek szerint a feladatnak legföljebb

2

lényegesen különböző (nem egybevágó) megoldása van.

Megjegyzések. 1. A megoldhatóság fönti föltétele megadható az adatokat tartalmazó egyenlőtlenséggel is, hiszen

D_{1} B

és

D_{2} B

könnyen kifejezhetők a

B C

A M

hosszúságokkal.

2. Megszerkeszthetjük

k

-t a háromszög Euler-féle egyenesére ismert tétel alapján is. Jelöljük

k

középpontját, súlypontját és a

B C

oldal felezőpontját rendre

O

S

F

betűvel.

A F

és

O M

S

-ben metszik egymást és

O F | | M A

, így

S O F

és

S M A

középpontosan hasonló háromszögek. Továbbá

S F = S A / 2

, így

O F = M A / 2

, a

B O F

derékszögű háromszög megszerkeszthető.

Buza Antal(Dunaújváros, Münnich F. Gimn.)