A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha ( egész), akkor , tehát | | (1) | azaz | | (2) | ezért függvényünk képe parabolaívekből tevődik össze, hiszen az kifejezés vagy , vagy . A (2)-ből azonnal leolvashatjuk, hogy az helyen az helyettesítési értéke megegyezik jobb oldali határértékével és e közös érték: , a bal oldali határérték pedig . Így függvényünk az egész helyeken jobbról folytonos és bal oldali határértéke -gyel kisebb, mint a helyettesítési értéke, azaz 1 egységgel felugrik. a) Ha , azaz , akkor (2)-ből teljes négyzetté való kiegészítéssel kapjuk, hogy | | (3) | Így esetén szigorúan monoton növekvő a intervallumokban, hiszen ezekben . Figyelembe véve az ugrásokról mondottakat, megállapíthatjuk, hogy esetén szigorúan monoton növekvő, tehát itt szélső értéke, s miatt zérushelye nincsen. b) Ha , azaz , akkor amiből leolvasható, hogy az helyen maximum van, és zérushely nincsen (hiszen ekkor , s így ). c) Ha , azaz , akkor tehát az helyen maximum van és zérushely (több zérushely itt nincsen, hiszen esetén | |
d) Ha , azaz , akkor -re ismét a (3) előállítás érvényes, tehát szigorúan monoton csökkenő a intervallumokban, hiszen esetünkben . Így ebben az esetben szélsőérték csak az helyeken lehet. Ezek a helyek maximum helyek, hiszen ha a -nél kisebb egész szám, akkor van olyan környezete, amelyben a legnagyobb függvényérték (mert az helyen a bal oldali határérték , s ezért van olyan , hogy , ha , másrészt láttuk, hogy , ha , tehát mindig , ha a szám sugarú környezetébe esik és ). A fentiekből az is következik, hogy esetén a intervallumban csak akkor lehet zérushely, ha -nek a helyen vett bal oldali határértéke negatív, azaz | | Így zérushely csak a intervallumban lehet, amit (3)-ból könnyen meg is kaphatunk a értékkel: azaz Összefoglalva: megállapítottuk, hogy az (1) függvény lokális maximum helyei: ; lokális minimum helye nincsen, és két zérushelye van, ezek: és . |