Kezdőlap


Feladat:	F.1806	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Zoltán
Füzet:	1974/november, 114 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Vektorok felbontása összetevőkre, Ellipszis, mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: F.1806

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a megadott egyenes $e$ . A $B C$ rudat a $B$ pontban a feladat feltételeinek megfelelően kétféleképpen csatlakoztathatjuk $A B$ -hez, attól függően, hogy az $A B C$ irányított szög $+ 90^{\circ}$ vagy $- 90^{\circ}$ . Mi most azzal az esettel foglalkozunk, amikor az irányított szög $(- 90^{\circ})$ . A másik esetet az $e$ egyenesre való tükrözéssel vezethetjük vissza erre az esetre.
Legyen az $O A$ vektor és az $x$ tengely által alkotott szög $α$ és rögzítsük az $A$ pontot. A $B$ pont általában két különböző helyzetet vehet fel. Számítsuk ki mindkét esetben a $C$ pont koordinátáit!

1. ábra

1. Ha a

B

és

O

pont egybeesik, akkor

O A

-t

(- 90^{\circ})

-kal elfordítva kapjuk meg

O C

-t, így

C

koordinátái

\begin{matrix} C_{x} & = cos (α - 90^{\circ}) = sin α; & (1) \\ C_{y} = sin (α - 90^{\circ}) = - cos α . \end{matrix}

2. Ha

B

és

O

nem esik egybe, akkor

B

helyzete már egyértelmű. Határozzuk meg az

\vec{A C}

, valamint

\vec{O X}

irányított félegyenesek szögét!

\vec{O B}

-t

+ 22, 5^{\circ}

-kal elfordítva kapjuk meg

O A

-t, mert az

e

egyenes az

x

tengellyel

arctg \frac{1 - \sqrt[]{2}}{1} = - 22, 5^{\circ}

szöget zár be. Az

A O B

háromszög egyenlő szárú, azért

\vec{O B}

irányított félegyenest

- (α + 22, 5^{\circ})

-kal elfordítva kapjuk meg

\vec{A B}

-t,

\vec{A B}

-t pedig

+ 45^{\circ}

-kal elfordítva kapjuk meg

\vec{A C}

-t. Így

\vec{O X}

-et

(- 22, 5^{\circ} - α - 22, 5^{\circ} + 45^{\circ}) = - α

szöggel elfordítva kapjuk meg

\vec{A C}

-t, azaz az általuk bezárt szög éppen

- α

. Az

\vec{A C}

vektor hossza az

A B C

egyenlő szárú derékszögű háromszögből

\sqrt[]{2}

, így az

\vec{A C}

vektor

\begin{matrix} \vec{A C} = (\sqrt[]{2} cos (- α), \sqrt[]{2} sin (- α)) . \end{matrix}

\vec{O A}

(cos α, sin α)

vektorhoz az

\vec{A C}

vektort hozzáadva, éppen a

C

pont koordinátáit kapjuk meg:

\begin{matrix} C_{x} & = cos α + \sqrt[]{2} cos (- α) = (\sqrt[]{2} + 1) cos α; \\ C_{y} & = sin α + \sqrt[]{2} sin (- α) = (\sqrt[]{2} - 1) sin α; \end{matrix}

Azt kaptuk tehát, hogy a

C

pont minden

α

-ra, az (1) vagy (2) egyenletekkel leírt görbéken található: Az (1) egyenlettel meghatározott görbe éppen az egységsugarú kör. A (2) egyenlet viszont egy ellipszist ad meg:

\begin{matrix} x = (\sqrt[]{2} + 1) cos α, y = (1 - \sqrt[]{2}) sin α \end{matrix}

választással a

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(\sqrt[]{2} + 1)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(1 - \sqrt[]{2})}^{2}} = 1 \end{matrix}

egyenletű ellipszisről van szó.

2. ábra

A

pontnak végig kell futnia az egységkörön. Ez éppen azt jelenti, hogy az

α

szög valamely értékből kiindulva

360^{\circ}

-os intervallumon fut végig. Az előbb láttuk, hogy eközben a

C

pont két görbe valamelyikén fut. Azonban a

C

pont pályája folytonos vonal lesz, így, az egyik görbéről a másikra csak akkor léphet át, ha valamely

α

-ra (1) és (2) ugyanazt a pontot adja:

\begin{matrix} sin α = (\sqrt[]{2} + 1) cos, valamint - cos α = (1 - \sqrt[]{2}) sin α . \end{matrix}

Mindkét egyenlőség akkor teljesül, ha

\begin{matrix} tg α = \sqrt[]{2} + 1, α = 67, 5^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}

α = 67, 5^{\circ}

-hoz tartozó pontot

C_{1}

-gyel, az

α = 67, 5^{\circ} + 180^{\circ}

-hoz tartozó pontot

C_{2}

-vel jelöltük meg. Amennyiben a

α 67, 5^{\circ}

-tól

α 67, 5^{\circ} + 180^{\circ}

-ig változik, úgy az (1) görbén a

C

pont

C_{1}

-től

C_{2}

-ig pozitív irányban fut végig; a (2) görbén a

C

pont

C_{1}

-től

C_{2}

-ig negatív irányban fut végig. Hasonlóan a másik intervallumra is.

3. ábra

Összefoglalva, ha feltesszük, hogy az

A

pozitív irányban fut körbe az egységsugarú körön, akkor a

C

pont pályája a következők valamelyike lehet (3. ábra) (természetesen attól függően, hogy hol van a kezdőpont); összesen

20

-féle lehetőség.

Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)