|
Feladat: |
F.1806 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh Zoltán |
Füzet: |
1974/november,
114 - 116. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Vektorok felbontása összetevőkre, Ellipszis, mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/január: F.1806 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a megadott egyenes . A rudat a pontban a feladat feltételeinek megfelelően kétféleképpen csatlakoztathatjuk -hez, attól függően, hogy az irányított szög vagy . Mi most azzal az esettel foglalkozunk, amikor az irányított szög . A másik esetet az egyenesre való tükrözéssel vezethetjük vissza erre az esetre. Legyen az vektor és az tengely által alkotott szög és rögzítsük az pontot. A pont általában két különböző helyzetet vehet fel. Számítsuk ki mindkét esetben a pont koordinátáit!
1. ábra 1. Ha a és pont egybeesik, akkor -t -kal elfordítva kapjuk meg -t, így koordinátái
2. Ha és nem esik egybe, akkor helyzete már egyértelmű. Határozzuk meg az , valamint irányított félegyenesek szögét! -t -kal elfordítva kapjuk meg -t, mert az egyenes az tengellyel szöget zár be. Az háromszög egyenlő szárú, azért irányított félegyenest -kal elfordítva kapjuk meg -t, -t pedig -kal elfordítva kapjuk meg -t. Így -et szöggel elfordítva kapjuk meg -t, azaz az általuk bezárt szög éppen . Az vektor hossza az egyenlő szárú derékszögű háromszögből , így az vektor Az vektorhoz az vektort hozzáadva, éppen a pont koordinátáit kapjuk meg:
Azt kaptuk tehát, hogy a pont minden -ra, az (1) vagy (2) egyenletekkel leírt görbéken található: Az (1) egyenlettel meghatározott görbe éppen az egységsugarú kör. A (2) egyenlet viszont egy ellipszist ad meg: választással a egyenletű ellipszisről van szó.
2. ábra Az pontnak végig kell futnia az egységkörön. Ez éppen azt jelenti, hogy az szög valamely értékből kiindulva -os intervallumon fut végig. Az előbb láttuk, hogy eközben a pont két görbe valamelyikén fut. Azonban a pont pályája folytonos vonal lesz, így, az egyik görbéről a másikra csak akkor léphet át, ha valamely -ra (1) és (2) ugyanazt a pontot adja: | | Mindkét egyenlőség akkor teljesül, ha Az -hoz tartozó pontot -gyel, az -hoz tartozó pontot -vel jelöltük meg. Amennyiben a -tól -ig változik, úgy az (1) görbén a pont -től -ig pozitív irányban fut végig; a (2) görbén a pont -től -ig negatív irányban fut végig. Hasonlóan a másik intervallumra is.
3. ábra Összefoglalva, ha feltesszük, hogy az pozitív irányban fut körbe az egységsugarú körön, akkor a pont pályája a következők valamelyike lehet (3. ábra) (természetesen attól függően, hogy hol van a kezdőpont); összesen -féle lehetőség.
Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)
|
|