Kezdőlap


Feladat:	F.1802	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/október, 58 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Trigonometriai azonosságok, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: F.1802

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az integrandusz-szorzatot egyetlen trigonometrikus függvény és egy állandó szorzatává alakíthatjuk a

\begin{matrix} sin u cos u = \frac{1}{2} sin 2 u \end{matrix}

azonosság

n

-szeri alkalmazásával,

u

-nak egymás után

x

-et,

2 x

-et,

2^{2} x -et ...

2^{n - 1} x

-et véve. Így az egymás utáni cosinus tényezők előtt mindig ott van, ill. előáll ugyanannak az argumentumnak a sinusa, tehát

\begin{matrix} I = \int_{0}^{a} \frac{1}{2^{n}} sin 2^{n} x d x, ahol a = \frac{π}{2^{n + 1}} . \end{matrix}

Végül az állandót alakítjuk szorzattá úgy, hogy egyik tényezője egyenlő legyen a

sin 2^{n} x

összetett függvény belső függvényének deriváltjával, így

\begin{matrix} I = \frac{1}{2^{2 n}} \int_{0}^{a} 2^{n} sin 2^{n} x d x = \frac{1}{2^{2 n}} {[- cos 2^{n} x]}_{0}^{a}, \end{matrix}

és mivel

2^{n} a = π / 2

, azért

I = 1 / 2^{2 n}