Kezdőlap


Feladat:	F.1796	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. , Bara T. , Bartha Miklós , Boruzs Mária , Breuer P. , Burda Magdolna , Császár Gy. , Deák J. , Gál P. , Gáncs I. , Horváth L. , Horváth Mária , Kémeri Viktória , Kópházi J. , Kovács István , Krisztalovics Katalin , KUnhalmi Rózsa , Lázner G. , Lukács G. , Nagy Gyöngyi , Nagy Z. , Oláh Vera , Pallagi D. , Párkány Erzsébet , Pataki B. , Péntek J. , Perbíró Éva , Pröhle T. , Richter Mária , Sebestyén L. , Somogyi Judit , Stachó B. , Szalai-Dobos I. , Szánthó Zsuzsanna , Szarvas G. , Turi Erzsébet , Vály Ágnes , Vályi G. , Vida T. , Wettl F. , Zombori J.
Füzet:	1973/március, 100 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpszeletek, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: F.1796

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $F P_{i}$ félegyenes és az $F$ körüli $2 a$ sugarú $k$ kör metszéspontját $E_{i}$ -vel ( $i = 1$ , 2; $2 a$ szokás szerint a nagytengely hossza). $P_{i}$ a $k$ belsejében van, mert $F P_{i} < 2 a$ . Rajzoljuk meg $P_{i}$ körül az $E_{i}$ -n átmenő $k_{i}$ kört. Eszerint $P_{i} E_{i} < 2 a$ , $k_{i}$ az $E_{i}$ pontban belülről érinti $k$ -t, és az $M E_{i}$ egyenes közös érintőjük, továbbá $P_{i} E_{i} = F E_{i} - F P_{i} = 2 a - F P_{i} = G P_{i}$ , tehát $k_{i}$ átmegy $G$ -n. Jelöljük az $M G$ egyenesnek $k_{i}$ -vel való, $G$ -től különböző metszéspontját $N_{i}$ -vel, ekkor a körhöz külső pontból húzott érintő és szelő szakaszai közti ismert összefüggés^{$^{*}$} szerint (1. ábra):

\begin{matrix} M N_{1} = \frac{M E_{1}^{2}}{M G} = \frac{M E_{2}^{2}}{M G} = M N_{2} \end{matrix}

(1)

(az egymás utáni egyenlőségeket rendre

k_{1}

k

k_{2}

alapján írtuk fel).

1. ábra

S mivel

N_{1}

és

N_{2}

M G

félegyenesen vannak (hiszen

M

kívül van

k

-n,

G

és

N_{i}

pedig benne vannak), azért

N_{2}

azonos

N_{1}

-gyel. Így pedig

P_{1} P_{2}

‐ mint a

k_{1}

és

k_{2}

középpontjait összekötő egyenes ‐ merőleges az

N_{1} G

közös húrjukat tartalmazó

M G

egyenesre. Ezt kellett bizonyítanunk.
Előfordulhat, hogy

M G

érinti

k_{1}

-et, ekkor

N_{1}

-ként

G

értendő. Ekkor (1) szerint

k_{2}

-t is érinti, így

k_{1}

és

k_{2}

érintik egymást

G

-ben,

G

rajta van a

P_{1} P_{2} = h

egyenesen, és

M G

G P_{1}

-re is,

G P_{2}

-re is merőleges; az állítás ilyen esetben is helyes.
Az állításban szereplő

M

pont akkor és csak akkor nem jön létre, ha az

F P_{1}

F P_{2}

félegyenesek egymás meghosszabbításába esnek, másképpen ha

h

átmegy

F

-en. Ilyen esetben az állítás tárgytalan.

Bartha Miklós (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)
Kovács István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések.1. Láttuk, hogy az ellipszisünk

P

pontja körül

(2 a - F P)

sugárral írt kör érinti

k

-t (természetesen belülről) és átmegy

G

-n. Ezt így is kimondhatjuk: azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek érintik

k

-t és átmennek

G

-n, az az ellipszis, melynek nagytengelye

2 a

hosszúságú és fókuszai

F

és

G

. Ebben a felfogásban

F

és

G

szerepe különböző,

k

-t az ellipszis (egyik) vezérkörének nevezzük,

F

a vezérkör középpontja és

G

a fókusz. (Természetesen

G

-hez is tartozik egy vezérköre az ellipszisnek.) Ebből az értelmezésből több elemien bizonyítható érdekes tulajdonságát lehet belátni az ellipszis érintőinek, ha elfogadjuk az érintő következő definícióját: az ellipszis érintője minden olyan (a síkjában fekvő) egyenes, amelynek csak egy közös pontja van az ellipszissel.
2. Megoldásunkban tulajdonképpen a következő állítást bizonyítottuk be. Legyen az

E_{1} F M

derékszögű háromszögben

E_{1}

-nek az

F M

átfogóra vonatkozó tükörképe

E_{2}

, és legyen

G

olyan pont, amelyik nincs rajta sem az

E_{1} M

, sem az

E_{2} M

egyenesen. Az

E_{i} G

szakasz felező merőlegese metszi az

F E_{i}

egyenest, jelöljük a metszéspontot

P_{i}

-vel

(i = 1, 2)

. Azt állítjuk, hogy akkor

P_{1} P_{2}

merőleges

G M

-re.
Ennek az állításnak a segítségével rövid bizonyítást adhatunk az 1967. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny II. fordulójában a matematikai osztályok részére kitűzött 2. feladatra.^{$^{*}$} A feladat szövege a következő volt. " Az

M A B

egyenlő szárú háromszög

M

csúcsán két egyenes megy át,

u

és

v

. Az

A

pontból

u

-ra,

B

-ből

v

-re bocsátott merőlegesek metszéspontja legyen

W

. Az

A

-ból

M A

-ra állított merőleges messe

u

-t

U

-ban, a

B

-ből

M B

-re állított merőleges messe

v

-t

V

-ben. Bizonyítandó, hogy

U V

merőleges

M W

-re.'' (2. ábra.)

2. ábra

Legyen ugyanis az

A

-ból

M A

-ra és

B

-ből

M B

-re állított merőlegesek metszéspontja

C

, messe

W A

, illetve

W B

felező merőlegese a

C A

, illetve

C B

egyenest az

U'

, illetve a

V'

pontban, és legyen ennek a két felező merőlegesnek a metszéspontja

K

. Ez a

K

A B W

háromszög köré írható kör középpontja, tehát rajta van

A B

felező merőlegesén,

M C

-n. Így az a

C

centrumú centrális hasonlóság, amely

M

-et

K

-ba viszi,

u

-t

K U'

-be,

v

-t

K V'

-be,

U V

-t

U' V'

-be viszi. Elég tehát bizonyítani, hogy

U' V' ⊥ M W

, ez viszont épp a bevezetőben kimondott állítás, ha benne az

E_{1}

E_{2}

F

M

G

P_{1}

P_{2}

pontok szerepét rendre

A

B

C

M

W

U'

V'

veszi át.
(Tusnády Gábor)

^{$^{*}$}Lásd pl.: Horvay Katalin‐Pálmay Lóránt: Matematika a gimn. és szakközépisk. II. oszt. számára. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. 175. old. 240. feladat.

^{$^{*}$}A feladat megoldása megjelent a következő helyen: Bakos T.‐Lőrincz P.‐Tusnády G.: Középiskolai Matematikai Versenyek az 1967. évben. Tankönyvkiadó. Budapest, 1970. 95. oldal.